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Logarithme népérien - Cours et exercices de Maths, Terminale ES

Contenu du chapitre :

Ce chapitre traite du logarithme népérien.

Objectifs pédagogiques :

- Connaître les propriétés du logarithme népérien

- Analyser la fonction ln

- Résoudre des équations et des inéquations avec ln

- Représenter la fonction ln sur un graphique

 

Votre enfant est en Terminale ES et vous souhaitez l'aider à progresser en Maths ?

Pour revoir le chapitre "Logarithme népérien", Bordas Soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des diaporamas de cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s’adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée, afin de l’aider à progresser.

Les notions abordées :

Les propriétés du logarithme népérien

I -Définition du logarithme népérien

Nous avons vu que la fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R et qu'elle a ses images dans ]0;+oo[.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel a de ]0;+oo[ , il existe un unique réel b tel que eb = a.

Définition : b est appelé le logarithme népérien de a. On le note ln a. On définit ainsi une fonction sur ]0;+oo[ :

Pour tout a > 0 b = ln a si et seulement si a = eb

 

Étudier la fonction ln

I - Dérivée

Propriété : La fonction ln est dérivable sur ]0;+oo[ et (ln)'(x) = 1x.

Démonstration :

Soit a et x deux réels strictement positifs. Étudions la limite lorsque x tend vers a du taux d'accroissement t(x)=ln(a) ln(x)ax .

Pour cela, posons b = ln a et y = ln x. Alors a = eb et x = ey et donc t(x)=byeb?ey .

On reconnaît l'inverse du taux d'accroissement de la fonction exp, qui est dérivable en b.

Lorsque x tend vers a, y tend vers b et t(x) tend vers 1eb=1a .

 

Résoudre des équations et des inéquations avec ln

I - (In)équations contenant des logarithmes

Rappel : pour éliminer un logarithme on utilise l'exponentielle :

Méthode de résolution :

Déterminer l'ensemble de définition de l'(in)équation ;

Regrouper les logarithmes pour obtenir lnX=lnY ou lnX=A ;

Utiliser l'exponentielle pour faire disparaître le(s) logarithme(s).

 

Représenter graphiquement la fonction ln

I - Lien avec l'exponentielle

Propriété : La courbe de la fonction ln est la symétrique de celle de la fonction exp par rapport à la droite y = x (première bissectrice du repère).

Démonstration :

La symétrie par rapport à la première bissectrice permute les coordonnées d'un point.

Ainsi, au point (x ; ln x) de la courbe de ln, elle associe le point (ln x ; x). Or exp(ln x) = x, donc ce point (ln x ; x) est sur la courbe de la fonction exp.

Exemple :

On a vu que e0 = 1 implique ln 1 = 0. Graphiquement, cela correspond à deux points symétriques :

(0 ; 1) sur la courbe de exp et (1 ; 0) sur celle de ln.

 

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