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Fonctions continues - Cours et exercices de Maths, Terminale ES

Contenu du chapitre :

Ce chapitre traite des fonctions continues.

Objectifs pédagogiques :

- Reconnaître une fonction continue

- Interpréter un tableau de variations

- Résoudre l'équation f(x) = 0

 

Votre enfant est en Terminale ES et vous souhaitez l'aider à progresser en Maths ?

Pour revoir le chapitre "Fonctions continues", Bordas Soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des diaporamas de cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s’adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée, afin de l’aider à progresser.

Les notions abordées :

Reconnaître une fonction continue

I - Fonction continue sur un intervalle

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Si la courbe de f se trace « sans lever le crayon », on dit que f est continue sur l'intervalle I.

II - Exemples usuels

Les propriétés suivantes sont admises :

Toute fonction polynôme est continue sur R.

La fonction racine carrée est continue sur R+.

Toute fonction usuelle est continue sur un intervalle où elle est définie.

 

Exploiter un tableau de variations

I - Théorème des valeurs intermédiaires

Cas général : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si a et b sont deux nombres dans I, alors tout nombre compris entre f(a) et f(b) est atteint au moins une fois par f.

Exemple 1 : Soit f une fonction continue sur [2 ; 10] avec f(2) = 5 et f(10) = 3.

Tout nombre compris entre 3 et 5 possède au moins un antécédent par f.

Ainsi, il existe au moins un nombre x dans [2 ; 10] tel que f(x) = 4.

 

Résoudre l'équation f(x) = 0

De très nombreux problèmes mathématiques ou de la vie courante conduisent à une équation, de la forme f(x) = k ou plus généralement f(x) = g(x).

Toutes ces équations peuvent se mettre sous la forme f(x) = 0, tout simplement en déplaçant le membre de droite de l'égalité.

Certaines de ces équations peuvent se résoudre algébriquement, ce qui permet de déterminer leur(s) solution(s) exacte(s).

Mais le plus souvent, cela est impossible car l'équation est trop complexe.

En revanche, il est toujours possible de trouver des valeurs approchées très précises des solutions, par des méthodes qu'il est possible d'automatiser au moyen d'algorithmes.

 

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