Exponentielles - Cours et exercices de Maths, Terminale ES

L'exponentielle de base q

I - Définition

Soit un nombre q > 0.

Nous avons déjà rencontré la suite des nombres (qn) : elle est géométrique.

Le nombre qx est en fait défini pour n'importe quel réel x (pas nécessairement entier).

La fonction ainsi définie sur R est appelée exponentielle de base q.

Sa courbe est obtenue en reliant les points (n ; qn) de la suite géométrique.

La fonction exponentielle

I - Définition

Avec toutes les fonctions exponentielles, l'image de 0 est 1.

En revanche, ces fonctions croissent ou décroissent plus ou moins vite, donc le nombre dérivé en 0 varie.

Définition : Parmi toutes les fonctions exponentielles, il en existe une et une seule telle que f' (0) = 1. On la note parfois « exp ».

Notation : Soit e la base associée à cette fonction exponentielle. On peut alors noter ex l'image de x, au lieu de exp(x).

Utiliser la relation fonctionnelle

I - Relation fondamentale des exponentielles

Soit q > 0. Alors, pour tous réels x et y on a :

qx + y = qx × y .

Cela prolonge la formule de calcul bien connue si les exposants sont entiers.

On dit qu'une fonction exponentielle transforme une somme en produit car avec la notation fonctionnelle, la relation s'écrit f(x + y) = f(x) × f(y)

Remarque :

Les fonctions exponentielles sont les seules fonctions usuelles qui vérifient cette propriété

Dériver exp[u(x)]

I - Fonction de la forme eu

1. Définition

Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Pour tout nombre x dans I, le nombre eu(x) existe.

On peut donc définir une nouvelle fonction f sur I par : f(x)=eu(x) .

On dit que l'on compose les fonction u et exp (on applique l'une puis l'autre).

Exemple : f(x)=e5x - 3 , en composant la fonction exp avec la fonction affine u(x) = 5x - 3. Alors par exemple f(2) = e5 × 2 - 3 = e7.