Fonctions logarithmes et exponentielles (groupe A et B) - Cours et exercices de Maths, Terminale Bac Pro

Fonction logarithme népérien

Définition

On appelle logarithme népérien la fonction x->ln (x) définie pour tout x>0 et telle que :

ln (1) = 0 et ln '(x) = 1/x

On note e le nombre réel tel que ln(e) = 1. Une valeur approchée au millième de e est 2,718.

La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+oo[ .

...

Fonction logarithme décimal

Définition

On appelle logarithme décimal la fonction notée log, définie sur par : log(x) =

On a donc log(10) = 1 et pour tout x > 0 et log'(x) = 1ln(10)×1x

La fonction log est strictement croissante sur ]0 ;+oo[.

...

Fonction exponentielle

Exponentielle d'un réel

Soit a un nombre réel.

L'unique solution de l'équation ln(x) = a est le nombre noté e^a.

On a donc : e^a > 0 et ln(e^a )=a et si a > 0, e^ln(a) = a

Pour déterminer ea, on utilise la touche e^x de la calculatrice.

e^0 = 1

...

Fonction exponentielle exp(ax)

Définition

Soit a un nombre réel non nul.

Les fonctions exponentielles f sont définies sur R par f(x) = e^ax.

Les fonctions exponentielles sont strictement positives : e^ax > 0.

Pour tout nombre réel x, f '(x) = ae^ax.

Courbes représentatives

Lorsque a > 0, x?e^ax est strictement croissante sur R .

Lorsque a < 0, x?e^ax est strictement décroissante sur R .

...

Études de fonctions

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien est définie sur ]0;+oo[ .

Pour tout x de ]0;+oo[, ln?(x)=1/x > 0 donc la fonction ln est strictement croissante.

ln(1) = 0 et ln(e) = 1 avec e = 2,718 à 10-3 près.

...

Résolution d’équations et d’inéquations

Équation ln(ax) = b avec a > 0

On "prend" l'exponentielle des deux membres : e^ln(ax) = e^b

Or, pour tout c > 0, e^ln(c) = c donc e^ln(ax) = e^b équivaut à ax = e^b

C'est-à-dire x = e^b/a.

Exemple : Résoudre ln(5x) = 8

On "prend" l'exponentielle des deux membres :

e^ln(5x) = e^8

Ce qui équivaut à :

5x = e^8

C'est-à-dire x = e^8/5

La solution de l'équation ln(5x) = 8 est x =e^8/5?596,19

...