Lois discrètes - Cours et exercices de Mathématiques Complémentaires, Terminale Générale

Loi uniforme et loi de Bernoulli - Mathématiques Complémentaires

I. Point histoire

Ce sont les jeux de hasard, très en vogue au XVII^e siècle, qui sont à l’origine du calcul des probabilités.
Galilée (1564-1642) est l’un des premiers, avec Jérôme Cardan (1501-1576), à avoir écrit sur le « calcul des hasards ». Mais leurs ouvrages n’ont été publiés qu’après la célèbre correspondance entre Blaise Pascal (1623-1662) et Pierre de Fermat (1607-1665). La correspondance entre ces deux mathématiciens et leur résolution de problèmes, comme le « problème des partis », est considérée comme le début de la théorie des probabilités.
La loi binomiale a été introduite par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705) qui y fait référence dans son ouvrage Ars Conjectandi publié en 1713.

Soit  un entier naturel non nul.
Une variable aléatoire  suit la loi uniforme sur lorsqu'elle prend toutes les valeurs entières de avec la probabilité de  à  avec la probabilité .

Shéma de Bernoulli et triangle de Pascal - Mathématiques Complémentaires

I. Schéma de Bernoulli

►Définition

L'expérience aléatoire consistant à répéter fois de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre  s'appelle schéma de Bernoulli de paramètres  et .

Exemple : 

On lance trois fois un dé équilibré à six faces et, à chaque lancer, le succès est S : « obtenir 2 ».
Cette expérience est un schéma de Benouilli de paramètres  et .
Dans le cas d'un tirage ou d'un sondage dans une très grande population, on suppose le tirage indépendant même s'il se fait sans remise.

Loi binomiale - Mathématiques Complémentaires

I. Définition

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres  et , où  est le nombre de répétitions de l'épreuve et   est la probabilité du succès. 
Soit  la variable aléatoire qui, à chaque issue de ce schéma de Bernoulli, associe le nombre de succès au cours de ces  épreuves.
La loi de probabilité de  est appelée loi binomiale de paramètres  et .

► Propriété

Soit une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres  et .
Pour tout entier  compris entre  et ,  avec .

► Démonstration

L'événement  est composé de toutes les issues comportant exactement  succès, et donc  échecs. 
La probabilité de chacune de ces issues est .
Et le nombre de ces issues comportant  succès est .
Ainsi,  avec . 

Loi géométrique - Mathématiques Complémentaires

I. Définition

On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre où est la probabilité du succès.
Soit  la variable aléatoire qui compte le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès.
La loi de probabilité de   est appelée loi géométrique de paramètre p.

Remarque
La loi géométrique est aussi appelée « loi du premier succès ». 

Exemple : 
Si trois épreuves ont été nécessaires pour obtenir le premier succès : 

Utiliser la loi binomiale ou la loi géométrique - Mathématiques Complémentaires

La loi binomiale et la loi géométrique permettent de modéliser de nombreuses expériences.

Exemple :
Une maladie touche  de la population d'un pays.
(1) On interroge trois personnes au hasard.
La variable aléatoire qui, à tout groupe de trois personnes de ce pays, associe le nombre de malades suit la loi binomiale de paramètres  et  .
(2) On interroge des personnes jusqu'à trouver une personne malade.
La variable aléatoire qui compte le nombre de personnes interrogées suit la loi géométrique de paramètre .