Lois discrètes - Cours et exercices de Mathématiques Complémentaires, Terminale Générale
Votre enfant est en classe de Terminale et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques ?
Pour revoir le chapitre "Lois discrètes". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des tests de positionnement, des cours et des exercices.
Les notions abordées :
Loi uniforme et loi de Bernoulli - Mathématiques Complémentaires
I. Point histoire
Ce sont les jeux de hasard, très en vogue au XVIIe siècle, qui sont à l’origine du calcul des probabilités.
Galilée (1564-1642) est l’un des premiers, avec Jérôme Cardan (1501-1576), à avoir écrit sur le « calcul des hasards ». Mais leurs ouvrages n’ont été publiés qu’après la célèbre correspondance entre Blaise Pascal (1623-1662) et Pierre de Fermat (1607-1665). La correspondance entre ces deux mathématiciens et leur résolution de problèmes, comme le « problème des partis », est considérée comme le début de la théorie des probabilités.
La loi binomiale a été introduite par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705) qui y fait référence dans son ouvrage Ars Conjectandi publié en 1713.
►Définition
Soit un entier naturel non nul.
Une variable aléatoire suit la loi uniforme sur
lorsqu'elle prend toutes les valeurs entières de avec la probabilité de
à
avec la probabilité
.
Shéma de Bernoulli et triangle de Pascal - Mathématiques Complémentaires
I. Schéma de Bernoulli
►Définition
L'expérience aléatoire consistant à répéter fois de manière indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre
s'appelle schéma de Bernoulli de paramètres
et
.
Exemple :
On lance trois fois un dé équilibré à six faces et, à chaque lancer, le succès est S : « obtenir 2 ».
Cette expérience est un schéma de Benouilli de paramètres et
.
Dans le cas d'un tirage ou d'un sondage dans une très grande population, on suppose le tirage indépendant même s'il se fait sans remise.
Loi binomiale - Mathématiques Complémentaires
I. Définition
On considère un schéma de Bernoulli de paramètres et
, où
est le nombre de répétitions de l'épreuve et
est la probabilité du succès.
Soit la variable aléatoire qui, à chaque issue de ce schéma de Bernoulli, associe le nombre de succès au cours de ces
épreuves.
La loi de probabilité de est appelée loi binomiale de paramètres
et
.
► Propriété
Soit une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres
et
.
Pour tout entier compris entre
et
,
avec
.
► Démonstration
L'événement est composé de toutes les issues comportant exactement
succès, et donc
échecs.
La probabilité de chacune de ces issues est .
Et le nombre de ces issues comportant succès est
.
Ainsi, avec
.
Loi géométrique - Mathématiques Complémentaires
I. Définition
On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre où
est la probabilité du succès.
Soit la variable aléatoire qui compte le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès.
La loi de probabilité de est appelée loi géométrique de paramètre p.
Remarque
La loi géométrique est aussi appelée « loi du premier succès ».
Exemple :
Si trois épreuves ont été nécessaires pour obtenir le premier succès :
Utiliser la loi binomiale ou la loi géométrique - Mathématiques Complémentaires
La loi binomiale et la loi géométrique permettent de modéliser de nombreuses expériences.
Exemple :
Une maladie touche de la population d'un pays.
(1) On interroge trois personnes au hasard.
La variable aléatoire qui, à tout groupe de trois personnes de ce pays, associe le nombre de malades suit la loi binomiale de paramètres et
.
(2) On interroge des personnes jusqu'à trouver une personne malade.
La variable aléatoire qui compte le nombre de personnes interrogées suit la loi géométrique de paramètre .
Les derniers avis
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