Loi binomiale - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale

Succession d'épreuves - Mathématiques de Spécialité

Succession d'épreuves indépendantes 

I. Probabilités (rappels)

A. Calcul de probabilités 

Une loi de probabilité  est définie sur un ensemble Ω.

Probabilités conditionnelles
Soit  et  deux événements avec . La probabilité de l'événement  sachant , notée  est définie par : .

► Propriété 


Formule de Bayes 
Cette formule, du nom du mathématicien et pasteur anglais Thomas Bayes (1702-1761) est : .

Schéma de Bernoulli - Mathématiques de Spécialité

I. Point histoire 

Ce sont les jeux de hasard, très en vogue au XVII^e/ siècle, qui sont à l’origine du calcul des probabilités.
Galilée (1564-1642) est l’un des premiers, avec Jérôme Cardan (1501-1576), à avoir écrit sur le « calcul des hasards ». Mais leurs ouvrages n’ont été publiés qu’après la célèbre correspondance entre Blaise Pascal (1623-1662) et Pierre de Fermat (1607-1665). La correspondance entre ces deux mathématiciens et leur résolution de problèmes, comme le « problème des partis », est considérée comme le début de la théorie des probabilités.

La loi binomiale a été introduite par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705) qui y fait référence dans son ouvrage Ars Conjectandi publié en 1713.

II. Loi de Bernoulli 

► Définition

Une épreuve de Bernoulli de paramètre  avec  est une expérience aléatoire présentant deux issues, dont l'une est appelée « succès », de probabilité , et l'autre est appelée « échec », de probabilité .

Une épreuve de Bernoulli sert à modéliser une expérience aléatoire qui n'a que deux issues.

Probabilités avec une loi binomiale - Mathématiques de Spécialité

► Définition

On considère un schéma de Bernoulli de paramères  et , où  est le nombre de répétitions de l'épreuve et  est la probabilité du succès. 
Soit  la variable aléatoire qui, à chaque issie de ce schéma de Bernoulli, associe le nombre de succès au cours de ces  épreuves. 
La loi de probabilité de  est appelée loi binomiale de paramètres  et .

► Propriété

Soit une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres   et .
Pour tout entier  compris entre  et ,  avec .

► Démonstration ( au programme )
L'événement  est composé de toutes les issuées comportant exactement  succès, et donc  échecs. 
La probabilité de chacune de ces issues est .
Et le nombre de ces issues comportant  succès est .
Ainsi,  avec .

Utiliser la loi binomiale - Mathématiques de Spécialité

La loi binomaile permet de modéliser de nombreuses expériences. 

Exemple : 
Une maladie touche 2% de la population d'un pays. On interroge trois personnes au hasard. 
La variable aléatoire qui, à tout groupe de trois personnes de ce pays, associe le nombre de malades suit la loi binomiale de paramètres  et .