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Loi binomiale - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale

Votre enfant est en classe de Terminale et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques ?

Pour revoir le chapitre "Loi binomiale". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des tests de positionnement, des cours et des exercices.

Les notions abordées :

Succession d'épreuves - Mathématiques de Spécialité

Succession d'épreuves indépendantes 

I. Probabilités (rappels)

A. Calcul de probabilités 

Une loi de probabilité  est définie sur un ensemble Ω.

 

Probabilités conditionnelles
Soit  et  deux événements avec . La probabilité de l'événement  sachant , notée  est définie par : .

Propriété 


Formule de Bayes 
Cette formule, du nom du mathématicien et pasteur anglais Thomas Bayes (1702-1761) est : .

Schéma de Bernoulli - Mathématiques de Spécialité

I. Point histoire 

Ce sont les jeux de hasard, très en vogue au XVIIe/ siècle, qui sont à l’origine du calcul des probabilités.
Galilée (1564-1642) est l’un des premiers, avec Jérôme Cardan (1501-1576), à avoir écrit sur le « calcul des hasards ». Mais leurs ouvrages n’ont été publiés qu’après la célèbre correspondance entre Blaise Pascal (1623-1662) et Pierre de Fermat (1607-1665). La correspondance entre ces deux mathématiciens et leur résolution de problèmes, comme le « problème des partis », est considérée comme le début de la théorie des probabilités.

La loi binomiale a été introduite par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705) qui y fait référence dans son ouvrage Ars Conjectandi publié en 1713.

II. Loi de Bernoulli 

Définition

Une épreuve de Bernoulli de paramètre  avec  est une expérience aléatoire présentant deux issues, dont l'une est appelée « succès », de probabilité , et l'autre est appelée « échec », de probabilité .

Une épreuve de Bernoulli sert à modéliser une expérience aléatoire qui n'a que deux issues.

Probabilités avec une loi binomiale - Mathématiques de Spécialité

Définition

On considère un schéma de Bernoulli de paramères  et , où  est le nombre de répétitions de l'épreuve et  est la probabilité du succès. 
Soit  la variable aléatoire qui, à chaque issie de ce schéma de Bernoulli, associe le nombre de succès au cours de ces  épreuves. 
La loi de probabilité de  est appelée loi binomiale de paramètres  et .

Propriété

Soit une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres   et .
Pour tout entier  compris entre  et  avec .


► Démonstration ( au programme )
L'événement  est composé de toutes les issuées comportant exactement  succès, et donc  échecs. 
La probabilité de chacune de ces issues est .
Et le nombre de ces issues comportant  succès est .
Ainsi,  avec .

Utiliser la loi binomiale - Mathématiques de Spécialité

La loi binomaile permet de modéliser de nombreuses expériences. 

Exemple
Une maladie touche 2% de la population d'un pays. On interroge trois personnes au hasard. 
La variable aléatoire qui, à tout groupe de trois personnes de ce pays, associe le nombre de malades suit la loi binomiale de paramètres  et .

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