Suites numériques - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale

Limite finie ou infinie d'une suite - Mathématiques de Spécialité

On s'intéresse au comprotement des termes  d'une suite lorsque  tend vers .

I. Suites convergentes 

► Définition

On considère une suite  et un nombre réel .
On dit que la suite  à partir d'un certain rang. On écrit .

Ainsi : 

• l'intervalle  contient toutes les valeurs  à partir d'un certain rang ;
  

• l'intervalle  contient toutes les valeurs  à partir d'un certain rang ; 
  

• l'intervalle  contient toutes les valeurs  à partir d'un certain rang. 
  

Algorithmes de recherche de seuils - Mathématiques de Spécialité

Déterminer un seuil revient à chercher, selon les propriétés de la suite , le plus petit entier naturel  tel que  ou tel que , avec  un réel.

Exemple 1 : 

Soit  la suite définie pour tout entier naturel  par .

Cette suite est croissante et on admet qu'elle a pour limite .

On cherche le plus petit entier naturel  tel que  dépasse 31. 

On résout l'inéquation .

Cette inéquation est équivalente à  et donc à .

donc le plus petit entier naturel répondant au problème est .

Opérations sur les limites - Mathématiques de Spécialité

On considère deux suites  et .

Les propriétés suivantes permettent de déterminer la limite des suites : ,  et .

I. Limite d'une somme

Pour calculer la limite d'une somme, on calcule la limite de chaque terme, puis on utilise les propriétés suivantes.

► Propriétés

Dans le tableau ci-dessous : 

L et L' désignent des réels ; 

F.I signifie forme indéterminée : la forme actuelle ne permet pas de conclure sur la limite de la suite.Il faut transformer l'écriture du terme géénral de la suite.

Théorèmes de comparaison - Mathématiques de Spécialité

► Théorème

Soit deux suites  et  telles que, à partir d'un certain rang, .
Si , alors .

► Démonstration (au programme)
Soit  réel. 
Comme , il existe un rang  tel que :
pour tout entier naturel  , si  alors .

Comportement d'une suite géométrique - Mathématiques de Spécialité

On s'intéresse aux suites de terme général , avec  un nombre réel. 

► Propriétés

(1) Si , alors la suite  n'a pas de limite.
(2) Si , alors .
(3) Si , alors .
(4) Si , alors .

Théorèmes de convergence - Mathématiques de Spécialité

I. Suites minorées ou majorées 

On considère une suite .

► Définitions

La suite  est majorée s'il existe un nombre réel  tel que pour tout entier naturel , . 
On dit que  est un majorant de la suite . 

La suite  est minorée s'il existe un nombre réel  tel que pour tout entier naturel , . 
On dit que  est un minorant de la suite .

Une suite bornée est une suite minorée et majorée. 
La suite  est bornée s'il existe deux nombres réels  et tel que pour tout entier naturel , . 

Modélisation d'une évolution - Mathématiques de Spécialité

Les suites numériques permettent de modéliser de nombreux phénomènes discrets d'évolution.

Exemple :

Partie A

Dans une réserve naturelle, on étudie l’évolution de la population d’une race de singes en voie d’extinction à cause d’une maladie.

Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15% chaque année.
Au 1^er janvier 2004, la population était estimée à 25 000 singes. 
A l'aide d'une suite, on modélise la population au 1^er janvier de chaque année.

Pour tout entier naturel , le terme  de la suite représente le nombre de singes au 1er janvier de l'année . On a ainsi .