Primitives et équations différentielles - Cours et exercices de Mathématiques Complémentaires, Terminale Générale

Primitives d'une fonction continue - Mathématiques Complémentaires

On peut être amenés, dans certaines situations, à chercher une fonction dont on connait la dérivée.
Prenons l'exemple, en physique, d'un point qui se déplace sur un axe à une vitesse constante . A l'instant , la position de ce point sur l'axe est  et sa vitesse est .
Ainsi, à tout instant , .
La position du point sur l'axe est donc donnée par une fonction dont on connait la dérivée.

Rechercher cette fonction, c'est faire l’opération inverse de la dérivation. C'est ce que nous allons étudier dans ce chapitre.

I. Primitives

► Définition
Soit  une fonction continue sur un intervalle I. 
Une fonction  est une primitive de la fonction  sur I si pour tout réel  de I, .

Reconnaître une forme remarquable - Mathématiques Complémentaires

Propriétés

Soit  une fonction dérivable sur un intervalle I. 


Exemple : primitive de définie sur par est de la forme avec et .
Une primitive de est .
Donc une primitive de est définie sur  par .

Équations différentielles - Mathématiques Complémentaires

I. Définition

Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction.
Elle se présente sous la forme d'une relation entre la fonction, certaines de ses dérivées et éventuellement la variable.

Exemple : 
est une équation différentielle. 

Résoudre cette équation sur un intervalle I, c'ets déterminer toutes les fonctions , définies et dérivables sur I, vérifiant .

On note le plus souvent une telle équation en nommant  l'inconnue. 
Ainsi, avec cette notation, l'équation précédente devient : .

On va montrer que la fonction  définie sur  par est une solution de cette équation différentielle. 
Pour tout réel , .
Donc, pour tout réel , .
est solution de l'équation différentielle .

Équations différentielles y'=ay+b - Mathématiques Complémentaires

I. Équations y' = ay+b

► Propriété

Soit  et  deux nombres réels et  non nul. 

Les solutions de l'équation différentielle (E) :  sont les fonctions de la forme  où  ets une solution de l'équation  et  est la solution particulière constante de (E).

Remarques
(1)  est appelée l'équation homogène associée à (E).

(2) Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme   où  est la fonction constante solution de (E).

(3) La solution particulière constante de (E) est  définie sur  par .

En effet, pour tout réel ,  car  est solution de (E) et  car  est constante. donc , soit .