Primitives et équations différentielles - Cours et exercices de Mathématiques Complémentaires, Terminale Générale
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Pour revoir le chapitre "Primitives et équations différentielles". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des tests de positionnement, des cours et des exercices.Les notions abordées :
Primitives d'une fonction continue - Mathématiques Complémentaires
On peut être amenés, dans certaines situations, à chercher une fonction dont on connait la dérivée.
Prenons l'exemple, en physique, d'un point qui se déplace sur un axe à une vitesse constante
. A l'instant
, la position de ce point sur l'axe est
et sa vitesse est
.
Ainsi, à tout instant ,
.
La position du point sur l'axe est donc donnée par une fonction dont on connait la dérivée.
Rechercher cette fonction, c'est faire l’opération inverse de la dérivation. C'est ce que nous allons étudier dans ce chapitre.
I. Primitives
► Définition
Soit une fonction continue sur un intervalle I.
Une fonction est une primitive de la fonction
sur I si pour tout réel
de I,
.
Reconnaître une forme remarquable - Mathématiques Complémentaires
► PropriétésSoit


Exemple : primitive de






Une primitive de


Donc une primitive de




Équations différentielles - Mathématiques Complémentaires
I. Définition
Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction.
Elle se présente sous la forme d'une relation entre la fonction, certaines de ses dérivées et éventuellement la variable.
Exemple : est une équation différentielle.
Résoudre cette équation sur un intervalle I, c'ets déterminer toutes les fonctions , définies et dérivables sur I, vérifiant
.
On note le plus souvent une telle équation en nommant l'inconnue.
Ainsi, avec cette notation, l'équation précédente devient : .
On va montrer que la fonction définie sur
par
est une solution de cette équation différentielle.
Pour tout réel ,
.
Donc, pour tout réel ,
.
est solution de l'équation différentielle
.
Équations différentielles y'=ay+b - Mathématiques Complémentaires
I. Équations y' = ay+b
► Propriété
Soit et
deux nombres réels et
non nul.
Les solutions de l'équation différentielle (E) : sont les fonctions de la forme
où
ets une solution de l'équation
et
est la solution particulière constante de (E).
Remarques
(1) est appelée l'équation homogène associée à (E).
(2) Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme où
est la fonction constante solution de (E).
(3) La solution particulière constante de (E) est définie sur
par
.
En effet, pour tout réel ,
car
est solution de (E) et
car
est constante. donc
, soit
.
Les derniers avis
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Les autres notions abordées dans le chapitre Cours et exercices de Mathématiques en Terminale Générale - Analyse