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Primitives et équations différentielles - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale

Votre enfant est en classe de Terminale et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques ?

Pour revoir le chapitre "Primitives et équations différentielles". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des tests de positionnement, des cours et des exercices.

Les notions abordées :

Primitives d'une fonction continue - Mathématiques de Spécialité

On peut être amenées, dans certaines situations, à chercher une focntion dont on connaît la dérivée. 

Prenons l'exemple, en physique, d'un point qui se déplace sur un axe  à une vitesse constante . A l'instant , la position de ce point sur l'axe est  et sa vitesse est .

Ainsi, à tout instant 

La position du point sur l'axe est donc donnée par une fonction dont on connait la dérivée.

Rechercher cette fonction, c'est faire l’opération inverse de la dérivation. C'est ce que nous allons étudier dans ce chapitre.


I. Primitives

Définition

Soit  est une primitive de la fonction  sur I si pour tout réel  de I, .

Reconnaître une forme remarquable - Mathématiques de Spécialité

► Propriétés

Soit  une fonction dérivable sur un intervalle I. 
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Exemple : primitive de  définie sur  par 
est de la forme  avec  et .
Une primitive de  est .Donc une primitive de est  définie sur  par .

Équations différentielles - Mathématiques de Spécialité

I. Définition

Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction.

Elle se présente sous la forme d'une relation entre la fonction, certaines de ses dérivées et éventuellement la variable.

Exemple
est une équation différentielle. 

Résoudre cette équation sur un intervalle I, c'est déterminer toutes les fonctions , définiés et dérivables sur I, vérifiant .

On note le plus souvent une telle équation en nommant  l'inconnue. 

Ainsi, avec cette notation, l'équation précédente devient : .

On va montrer que la fonction  définie sur  par  est une solution de cette équation différentielle. 

Pour tout réel 

Donc, pour tout réel .

est solution de l'équation différentielle .

Équations différentielles y'=ay+b ou y'=ay+f - Mathématiques de Spécialité

I. Équations y' = ay + b

Propriété

Soit  et  deux nombres réel et  non nul. 
Les solutions de l'équation différentielle (E) :  sont les fonctions de la forme  où  est une solution de l'équation  et  est la solution particulière constante de (E). 

Remarques 
(1)  est ppelée l'équation homogène associée à (E).
(2) Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme  où  est la fonction constante solution de (E). 
(3) La solution particulière constante de (E) est  définie sur  par .
En effet, pour tout réel  car  est solution de (E) et  car  est constante. Donc , soit .

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