Limites de fonctions - Cours et exercices de Mathématiques Complémentaires, Terminale Générale

Limites et asymptotes - Mathématiques Complémentaires

I. Point histoire

Au début du XVII^e siècle, des méthodes utilisant les quantités infiniment petites sont mises au point pour résoudre des problèmes de vitesse instantanée, de tangente, de longueur d’une courbe, de maxima et de minima, etc.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) avec son Calcul différentiel, et Isaac Newton (1642-1727) avec sa Méthode des fluxions, généralisent séparément ces techniques. Ils sont tous deux considérés comme les fondateurs du calcul différentiel (calcul infinitésimal). Néanmoins, les fondements des règles de calcul ne semblent pas assurés. 

Les critiques commencent dès la fin du XVII^e siècle. L’une des plus célèbres est celle de l’évêque irlandais George Berkeley (1685-1783). Il écrit à propos des fluxions de Newton: 

Limites d'une somme ou d'un produit - Mathématiques Complémentaires

I. Limites des fonctions de référence

Limites d'un quotient - Mathématiques Complémentaires

I. Limite de l'inverse d'une fonction

Pour calculer la limite de l'inverse d'une fonction, on utilise les propriétés suivantes.

► Propriétés

Dans le tableau ci-dessous,
désigne un réel,  ou .

Exemple : calcul de 

Limites d'une fonction composée - Mathématiques Complémentaires

Composée de deux fonctions

► Définition

Soit  une fonction définie sur un intervalle I et  une fonction définie sur un intervalle J tel que pour tout réel  de J,  appartient à I.

La composée de  suivie de  est la fonction  définie sur J par .

Théorèmes de comparaison - Mathématiques Complémentaires

Les théorèmes de comparaison sont analogues à ceux donnés pour les suites numériques.
Ils sont ici énoncés quand  tend vers , mais on pourrait les énoncer quand  tend vers , ou quand  tend vers un nombre réel.

Soit une fonction définie sur un intervalle J de la forme .

Interprétation graphique d'une limite - Mathématiques Complémentaires

On peut déduire, du calcul des limites d'une fonction, l'existence d'asymptotes à sa courbe représentative.

I. Point histoire

L’Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, éditée de 1751 à 1772 sous la direction de Diderot et d’Alembert, est la première encyclopédie française. C'est un ouvrage majeur du siècle des Lumières qui fait l'inventaire de toutes les connaissances de l'époque.

Voici un extrait de la définition de l’asymptote que donne Jean le Rond d’Alembert (1717 – 1783) dans l’Encyclopédie.

« ASYMPTOTE, [...] Quelques auteurs définissent l’asymptote une ligne indéfiniment prolongée, qui va en s’approchant de plus en plus d’une autre ligne qu’elle ne rencontrera jamais. […] Mais cette définition générale de l’asymptote n’est pas exacte, car elle peut être appliquée à des lignes qui ne sont pas des asymptotes. […]

Qu’est-ce donc qu’une asymptote en général ? C’est une ligne, qui étant indéfiniment prolongée, s’approche continuellement d’une autre ligne aussi indéfiniment prolongée, de manière que sa distance à cette ligne ne devient jamais zéro absolu, mais peut toujours être trouvée plus petite qu’aucune grandeur donnée. […]»