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Limites de fonctions - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale

Votre enfant est en classe de Terminale et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques ?

Pour revoir le chapitre "Limites de fonctions". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des tests de positionnement, des cours et des exercices.

Les notions abordées :

Limites et asymptotes - Mathématiques Spécialité

I. Point histoire

Au début du XVIIe siècle, des méthodes utilisant les quantités infiniment petites sont mises au point pour résoudre des problèmes de vitesse instantanée, de tangente, de longueur d’une courbe, de maxima et de minima, etc.</span>


Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), avec son Calcul différentiel, et Isaac Newton (1642-1727), avec sa Méthode des fluxions, généralisent séparément ces techniques. Ils sont tous deux considérés comme les fondateurs du calcul différentiel (calcul infinitésimal). Néanmoins les fondements des règles de calcul ne semblent pas assurés. 

 

Les critiques commencent dès la fin du XVIIe siècle. L’une des plus célèbres est celle de l’évêque irlandais George Berkeley (1685-1783). Il écrit à propos des fluxions de Newton: 

Limites d'une somme ou d'un produit - Mathématiques Spécialité

I. Limites des fonctions de référence


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Démonstartion (au programme) de 

La suite géométrique  a pour limite  car .
Quel que soit le réel , il existe un rang  tel que pour tout entier  supérieur ou égal à .
Pour , on a  car la fonction exponentielle est croissante sur . Et par conséquent, .
Tout l'intervalle  contient donc toutes les valeurs de  dès que  est assez grand.

Limites d'un quotient - Mathématiques Spécialité

I. Limite de l'inverse d'une fonction 

Pour calculer la limite de l'inverse d'une fonction, on utilise les propriétés suivantes. 

 

Propriétés

Dans le tableau ci-dessous, 
désigne un réel,  ou .


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Exemple : calcul de 
donc . Par conséquent, .

Limites d'une fonction composée - Mathématiques Spécialité

Composée de deux fonctions

Définition

Soit  une fonction définie sur un intervalle I et  une fonction définie sur un intervalle J tel que pour tout réel  de J,  appartient à I. 
La composée de  suivie de  est la fonction , notée  ( qui se lit "  rond  "), et définie sur J par .

Théorèmes de comparaison - Mathématiques Spécialité

Les théorèmes de comparaison sont analogues à ceux données pour les suites numériques.

Ils sont ici énoncés quand  tend vers , mais on pourrait les énoncer quand  tend vers , ou quand  tend vers un nombre réel. 

Soit  une fonction définie sur un intervalle J de la forme .

Croissance comparées de xn et ex - Mathématiques Spécialité

Propriétés

Soit  un entier naturel non nul.
.

On synthétise souvent ces limites en disant " voisinage de l'infini, l'exponentielle l'emporte sur les puissances entières de  ".

Démonstration (au programme) de 

► Pour 
On commence par démontrer que pour tout réel  strictement positif 
On en déduira que : , puis on appliquera un théorème de comparaison.

Interprétation graphique d'une limite - Mathématiques Spécialité

On peut déduire, du calcul des limites d'une fonction, l'existence d'asymptotes à sa couche représentative. 

I. Point histoire

L’Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, éditée de 1751 à 1772 sous la direction de Diderot et d’Alembert, est la première encyclopédie française. C'est un ouvrage majeur du siècle des Lumières qui fait l'inventaire de toutes les connaissances de l'époque.

Voici un extrait de la définition de l’asymptote que donne Jean le Rond d’Alembert (1717 – 1783) dans l’Encyclopédie.


« ASYMPTOTE, [...] Quelques auteurs définissent l’asymptote une ligne indéfiniment prolongée, qui va en s’approchant de plus en plus d’une autre ligne qu’elle ne rencontrera jamais. […] Mais cette définition générale de l’asymptote n’est pas exacte, car elle peut être appliquée à des lignes qui ne sont pas des asymptotes. […]

Les derniers avis

Les autres notions abordées dans le chapitre Cours et exercices de Mathématiques en Terminale Générale - Analyse

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