Fonctions trigonométriques - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale
Votre enfant est en classe de Terminale et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques ?
Pour revoir le chapitre "Fonctions trigonométriques". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des tests de positionnement, des cours et des exercices.
Les notions abordées :
Fonctions sinus et cosinus - Mathématiques de Spécialité
I. Fonction sinus
► Définition
La fonction sinus est la fonction définie sur qui, à tout réel
, associe
.
Fonction dérivée
La fonction sinus est dérivable sur et pour tout réel
,
.
Périodicité et parité
(1) Pour tout réel ,
.
La fonction sinus est périodique, de période .
(2) Pour tout réel ,
La fonction sinus est impaire.
Graphiquement, la courbe de la fonction sinus admet uncentre de symétrie qui est l'origine du repère.
Équations et inéquations trigonométriques - Mathématiques de Spécialité
I. Équations trigonométriques
A. Équations de la forme cos(x)=a
Résoudre une équation de la forme , c'est déterminer tous les réels
qui ont pour cosinus le nombre
.
Lorsque n'appartient pas à l'intervalle
, l'équation
n'a pas de solution.
Lorsque appartient à l'intervalle
, on utilise le cercle trigonométrique.
On repère les deux points du cercle dont l'abscisse est égale à .
Les réels associés à ces deux points sont les solutions de l'équation.
L'équation a donc une infinité de solutions.
Si est une solution, alors tous les réels
avec
entier relatif, sont solutions.
Aussi, on résout le plus souvent une telle équation dans l'intervalle ( figure1 ) ou dans l'intervalle
( figure 2 ).
Étude d'une fonction trigonométrique - Mathématiques de Spécialité
Comme pour toute fonction, on étudie les variations d'une fonction trigonométrique en déterminant le signe de sa dérivée.
Exemple 1 :
Soit la fonction définie sur
par
et
sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
-
On peut tout d'abord remarque que
est paire et périodique. Une période est
.
En effet, pour tout réel ,
car
. Donc
.
Pour tout réel ,
car .
On peut donc étudier sur
.
On complétera la courbe par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, puis par des translations de vecteurs ou
.
-
On calcule
puis on étudie son signe.
Pour tout réel ,
avec
.
Donc .
Résolution d'un problème - Mathématiques de Spécialité
L'étude des fonctions trigonométriques permet de résoudre de nombreux problèmes. Ceux-ci peuvent être purement théoriques, ou bien provenir de situations en géométrie ou en physique.
I. Point histoire
Dans son traité sur la Théorie analytique de la chaleur (1822), le mathématicien et physicien français Joseph Fourier (1768-1830) exprime des fonctions discontinues comme la somme infinie de fonctions sinus ou cosinus.
Cette méthode est appelée transformation de Fourier. Elle a de nombreuses applications, par exemple dans la théorie du signal pour la compression du son ou de l'image.
Sur la figure ci-dessous, en augmentant le nombre de termes dans l'expression de la fonction, on obtiendrait la représentation graphique d'un « signal carré ».

Les derniers avis
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Les autres notions abordées dans le chapitre Cours et exercices de Mathématiques en Terminale Générale - Analyse