Fonctions trigonométriques - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale

Fonctions sinus et cosinus - Mathématiques de Spécialité

I. Fonction sinus 

► Définition

La fonction sinus est la fonction définie sur  qui, à tout réel , associe .

Fonction dérivée 
La fonction sinus est dérivable sur  et pour tout réel , . 

Périodicité et parité
(1) Pour tout réel , . 
La fonction sinus est périodique, de période . 
(2) Pour tout réel , 
La fonction sinus est impaire. 
Graphiquement, la courbe de la fonction sinus admet uncentre de symétrie qui est l'origine du repère.

Équations et inéquations trigonométriques - Mathématiques de Spécialité

I. Équations trigonométriques

A. Équations de la forme cos(x)=a

Résoudre une équation de la forme , c'est déterminer tous les réels  qui ont pour cosinus le nombre . 

Lorsque  n'appartient pas à l'intervalle , l'équation  n'a pas de solution. 
Lorsque  appartient à l'intervalle , on utilise le cercle trigonométrique. 
On repère les deux points du cercle dont l'abscisse est égale à .
Les réels associés à ces deux points sont les solutions de l'équation. 
L'équation  a donc une infinité de solutions. 
Si  est une solution, alors tous les réels  avec  entier relatif, sont solutions. 
Aussi, on résout le plus souvent une telle équation dans l'intervalle  ( figure1 ) ou dans l'intervalle  ( figure 2 ). 

Étude d'une fonction trigonométrique - Mathématiques de Spécialité

Comme pour toute fonction, on étudie les variations d'une fonction trigonométrique en déterminant le signe de sa dérivée. 

Exemple 1 : 

Soit  la fonction définie sur  par  et  sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 

• On peut tout d'abord remarque que  est paire et périodique. Une période est .

En effet, pour tout réel ,  car . Donc . 

Pour tout réel ,   car                      .

On peut donc étudier sur  .

On complétera la courbe par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, puis par des translations de vecteurs  ou . 

• On calcule  puis on étudie son signe. 

Pour tout réel ,  avec .

Donc .

Résolution d'un problème - Mathématiques de Spécialité

L'étude des fonctions trigonométriques permet de résoudre de nombreux problèmes. Ceux-ci peuvent être purement théoriques, ou bien provenir de situations en géométrie ou en physique.

I. Point histoire

Dans son traité sur la Théorie analytique de la chaleur  (1822), le mathématicien et physicien français Joseph Fourier (1768-1830) exprime des fonctions discontinues comme la somme infinie de fonctions sinus ou cosinus.

Cette méthode est appelée transformation de Fourier. Elle a de nombreuses applications, par exemple dans la théorie du signal pour la compression du son ou de l'image.

Sur la figure ci-dessous, en augmentant le nombre de termes dans l'expression de la fonction, on obtiendrait la représentation graphique d'un « signal carré ».