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Fonction logarithme - Cours et exercices de Mathématiques Complémentaires, Terminale Générale

Votre enfant est en classe de Terminale et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques ?

Pour revoir le chapitre "Fonction logarithme". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des tests de positionnement, des cours et des exercices.

Les notions abordées :

Fonction logarithme népérien - Mathématiques Complémentaires

I. Définition du logarithme népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur .
De plus  et .
La fonction exponentielle admet donc une fonction réciproque définie sur l'intervalle .

Définition
La fonction logarithme népérien, notée , est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Ainsi,  et  équivaut à .
Cette fonction est appelée « logarithme népérien », en l'honneur de John Napier (1550-1617), inventeur des logarithmes.

Propriétés algébriques du logarithme - Mathématiques Complémentaires

I. Point histoire
Les logarithmes ont été inventés par le théologien, mathématicien et physicien écossais John Napier (1550-1617). Dans son livre, Mirifici logarithmorum canonis descriptio (La Description de la règle merveilleuse des logarithmes) publié en 1614, Napier annonce qu'il a trouvé un moyen de simplifier tous les calculs.

Deux cents ans après l’invention des logarithmes, Pierre Simon Laplace (1749-1827) dira que les logarithmes, en abrégeant leur labeur, doublait la vie des astronomes. 

 

Mais pourquoi les logarithmes, facilitent-ils les calculs ? Parce qu'ils permettent de remplacer une multiplication par une addition.


Équations avec le logarithme - Mathématiques Complémentaires

Pour résoudre une équation avec le logarithme, on peut utiliser les propriétés suivantes : 

  • Pour tous réels  et  strictement positifs :  équivaut à .

  • Pour tout réel  et tout réel  strictement positif :  équivaut à .

Exemple : résolution de l'équation 

On commence par déterminer les valeurs de  pour lesquelles  et  existent. 

et  existent si, et seulement si,  et  et donc si, et seulement si,  et 

On résout donc l'équation dans l'intervalle .

Pour tout réel  de 

équivaut à  et donc à .

Ce nombre appartient bien à .

Inéquations avec le logarithme - Mathématiques Complémentaires

Pour résoudre une inéquation avec le logarithme, on peut utiliser les propriétés suivantes : 

  • Pour tous réels  et  strictement positifs,  équivaut à .

  • Pour tous réels  et  équivaut à .

  • Pour tout réel  strictement positif, .

  • Pour tout réel .

Exemple : résolution de l'inéquation .

On commence par déterminer les valeurs de  pour lesquelles  et  existent. 

et  existent si et seulement si,  et  et donc si, et seulement si,  et .
On résout donc l'inéquation dans l'intervalle .



Limites et variations d'une fonction comportant un logarithme - Mathématiques Complémentaires

I. Limites de la fonction logarithme

► Propriétés

et

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Exemple : calcul de 
et donc par produit : .
Donc .

Résolution d'un problème - Mathématiques Complémentaires

Les propriétés des fonctions logarithme et exponentielle permettent de résoudre de nombreux problèmes. Ceux-ci peuvent être purement théoriques, ou bien provenir de situation en économie, en physique, en SVT, etc.

I. Recherche d'un seuil

La fonction logarithme permet de résoudre des inéquations du type  ou  d'inconnue , et donc de déterminer un seuil dans le cadre de l'étude d'une suite numérique.

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