Fonction logarithme - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale

Fonction logarithme népérien - Mathématiques de Spécialité

I. Définition du logarithme népérien

On s'intéresse à l'équation  d'inconnue . 

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur . 

Comme  et , d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, quel que soit le réel   appartenant à l'intervalle , l'équation  a une unique solution dans . 

Cette solution est appelée « logarithme népérien de », en l'honneur de John Napier, inventeur des logarithmes. 

Propriétés algébriques du logarithme - Mathématiques de Spécialité

I. Point histoire 

Les logarithmes ont été inventés par le théologien, mathématicien et physicien écossais John Napier (1550-1617). Dans son livre, Mirifici logarithmorum canonis descriptio ( La Description de la règle merveilleuse des logarithmes ) publié en 1614, Napier annonce qu'il a trouvé un moyen de simplifier tous les calculs.

Deux cents ans après l’invention des logarithmes, Pierre Simon Laplace (1749-1827) dira que les logarithmes, en abrégeant leur labeur, doublait la vie des astronomes. 

Mais pourquoi les logarithmes facilitent-ils les calculs ? Parce qu'ils permettent de remplacer une multiplication par une addition.

II. Relation fonctionnelle de la fonction logarithme

Pour tous nombres réels  et  strictement positifs, on a : .

La fonction logarithme est ainsi une fonction  satisfaisant la relation : .

Équations avec le logarithme - Mathématiques de Spécialité

Pour résoudre une équation avec le logarithme, on peut utiliser les propriétés suivantes : 

• Pour tous réels  et  strictement positifs :  équivaut à . 

• Pour tout réel  et tout réel  strictement positif :  équivaut à . 

Exemple : résolution de l'équation 

On commence par déterminer les valeurs de  pour lesquelles  et  existent. 

et  existent si, et seulement si,  et 

et donc si, et seulement si,  et . 

On résout donc l'équation dans l'intervalle .

Inéquations avec le logarithme - Mathématiques de Spécialité

Pour résoudre une inéquation avec le logarithme, on peut utilsier les propriétés suivantes : 

• Pour tous réels  et  strictement positifs,  équivaut à . 

• Pour tous réel  et ,  équivaut à . 

• Pour tout réel  strictement positif, .

• Pour tout réel , .

Variations d'une fonction comportant un logarithme - Mathématiques de Spécialité

Comme pour toute fonction, on étudie les variations d'une fonction comprotant un logarithme en étudiant le signe de sa fonction dérivée. 

I. Dérivée d'une fonction avec le logarithme 

► Propriété (rappel)

La fonction  définie sur  par  est dérivable sur  et, pour tout réel  de , .

► Propriété

Soit  une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. 

La fonction  définie sur I par  est dérivable sur I et, pour tout réel  de I, .

Limites avec le logarithme - Mathématiques de Spécialité

I. Limites de la fonction logarithme

► Propriétés 

et 

► Démonstration (au programme)

On va calculer la limite de la fonction logarithme en 0. 
Pour tout réel , . 
et  donc par composition .
Ainsi, .

Résolution d'un problème - Mathématiques de Spécialité

Les propriétés des fonctions logarithme et exponentielle permettent de résoudre de nombreux problèmes. Ceux-ci peuvent être purement théoriques, ou bien provenir de situation en géométrie, en économie, en physique, en SVT, etc.

I. Exemple : optimisation d'une aire

Soit  la focntion définie sur  par  et  sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine . 

Soit  un réel de . On note  le point de  d'abscisse  et  la tangente à  au point .

La tangente  coupe l'axe des ordonnées au point A et l'ace des abscisses au point .

On se propose de déterminer pour quelle(s) valeur(s) de  l'aire du triangle  est maximale.