Fonction logarithme - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale
Votre enfant est en classe de Terminale et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques ?
Pour revoir le chapitre "Fonction logarithme". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des tests de positionnement, des cours et des exercices.
Les notions abordées :
Fonction logarithme népérien - Mathématiques de Spécialité
I. Définition du logarithme népérien
On s'intéresse à l'équation d'inconnue
.
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur .
Comme et
, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, quel que soit le réel
appartenant à l'intervalle
, l'équation
a une unique solution dans
.
Cette solution est appelée « logarithme népérien de », en l'honneur de John Napier, inventeur des logarithmes.

Propriétés algébriques du logarithme - Mathématiques de Spécialité
I. Point histoire
Les logarithmes ont été inventés par le théologien, mathématicien et physicien écossais John Napier (1550-1617). Dans son livre, Mirifici logarithmorum canonis descriptio ( La Description de la règle merveilleuse des logarithmes ) publié en 1614, Napier annonce qu'il a trouvé un moyen de simplifier tous les calculs.
Deux cents ans après l’invention des logarithmes, Pierre Simon Laplace (1749-1827) dira que les logarithmes, en abrégeant leur labeur, doublait la vie des astronomes.
Mais pourquoi les logarithmes facilitent-ils les calculs ? Parce qu'ils permettent de remplacer une multiplication par une addition.
II. Relation fonctionnelle de la fonction logarithme
Pour tous nombres réels et
strictement positifs, on a :
.
La fonction logarithme est ainsi une fonction satisfaisant la relation :
.
Équations avec le logarithme - Mathématiques de Spécialité
Pour résoudre une équation avec le logarithme, on peut utiliser les propriétés suivantes :
-
Pour tous réels
et
strictement positifs :
équivaut à
.
-
Pour tout réel
et tout réel
strictement positif :
équivaut à
.
Exemple : résolution de l'équation
On commence par déterminer les valeurs de pour lesquelles
et
existent.
et
existent si, et seulement si,
et
et donc si, et seulement si, et
.
On résout donc l'équation dans l'intervalle .
Inéquations avec le logarithme - Mathématiques de Spécialité
Pour résoudre une inéquation avec le logarithme, on peut utilsier les propriétés suivantes :
-
Pour tous réels
et
strictement positifs,
équivaut à
.
-
Pour tous réel
et
,
équivaut à
.
-
Pour tout réel
strictement positif,
.
-
Pour tout réel
,
.
Variations d'une fonction comportant un logarithme - Mathématiques de Spécialité
Comme pour toute fonction, on étudie les variations d'une fonction comprotant un logarithme en étudiant le signe de sa fonction dérivée.
I. Dérivée d'une fonction avec le logarithme
► Propriété (rappel)
La fonction définie sur
par
est dérivable sur
et, pour tout réel
de
,
.
► Propriété
Soit une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction définie sur I par
est dérivable sur I et, pour tout réel
de I,
.
Limites avec le logarithme - Mathématiques de Spécialité
I. Limites de la fonction logarithme
► Propriétés
et
► Démonstration (au programme)
On va calculer la limite de la fonction logarithme en 0.
Pour tout réel ,
.
et
donc par composition
.
Ainsi, .
Résolution d'un problème - Mathématiques de Spécialité
Les propriétés des fonctions logarithme et exponentielle permettent de résoudre de nombreux problèmes. Ceux-ci peuvent être purement théoriques, ou bien provenir de situation en géométrie, en économie, en physique, en SVT, etc.
I. Exemple : optimisation d'une aire
Soit la focntion définie sur
par
et
sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine
.
Soit un réel de
. On note
le point de
d'abscisse
et
la tangente à
au point
.
La tangente coupe l'axe des ordonnées au point A et l'ace des abscisses au point
.
On se propose de déterminer pour quelle(s) valeur(s) de l'aire du triangle
est maximale.
Les derniers avis
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Les autres notions abordées dans le chapitre Cours et exercices de Mathématiques en Terminale Générale - Analyse