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Convexité d'une fonction - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale

Votre enfant est en classe de Terminale et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques ?

Pour revoir le chapitre "Convexité d'une fonction". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des tests de positionnement, des cours et des exercices.

Les notions abordées :

Convexité - Mathématiques de Spécialité

On entend très souvent parler de l'inflexion d'une courbe, par exemple à propos de la courbe du chômage ou de la courbe donnant l'évolution du nombre de malades lors d'une épidémie.
Cela fait référence à la notion de convexité que nous allons étudier dans ce chapitre.

I. Fonctions convexes, fonctions concaves

Soit  une fonction définie sur un intervalle I et  sa courbe représentative. 

Définition

est convexe sur I si, et seulement si, toute partie de la courbe  est située au-dessous de la corde qui joint ses extrémités. 

On dit que  est au-dessous de ses cordes. 
La figure ci-dessous illustre cette définition.
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Convexité d'une fonction dexu fois dérivable - Mathématiques de Spécialité

Lorsqu'une fonction  est deux fois dérivable sur un intervalle I, on peut étudier sa convexité à l'aide de la dérivée seconde. 


Propriétés 

Soit  une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et  la dérivée seconde de 

(1)  est convexe sur I si, et seulement si,  est positive sur I. 

(2)  est concave sur I si, et seulement si,  est négative sur I. 

Propriétés 

Soit  une fonction deux dérivable sur I et  sa courbe représentative. 

Les propositions suivantes sont équivalentes : 

(1)  est convexe sur I. 

(2)  est croissante sur I. 

(3)  est au-dessus de toutes ses tangentes. 

(4)  est positive sur I. 

Démontrer une inégalité - Mathématiques de Spécialité

On peut utiliser la convexité d'une fonction pour démontrer des inégalités.

Pour cela, on utilise les propriétés de la courbe représentative d'une fonction convexe ou concave, et en particulier la position de la courbe par rapport à ses cordes ou à ses tangentes.


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Utiliser la convexité - Mathématiques de Spécialité

De très nombreux phénomènes peuvent être modélisés à l'aide de fonctions.

La convexité d'une fonction permet de décrire une croissance ou une décroissance.

Par exemple, lorsqu'une fonction croissante est convexe, on peut dire que l'augmentation de la quantité étudiée est de plus en plus forte (la croissance s'accélère).

Lorsqu'elle est concave, on peut dire que l'augmentation de la quantité étudiée est de moins en moins forte (la croissance ralentit).
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