Continuité d'une fonction - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale

Continuité - Mathématiques de Spécialité

I. Point histoire

On doit au mathématicien allemand Karl Weierstrass (1815-1897), souvent cité comme le « père de l'analyse moderne », la première définition rigoureuse de la continuité d’une fonction. Bernard Bolzano (1781-1848) avait développé une définition rigoureuse des limites dès 1817, mais ses travaux étaient restés quasi inconnus de la communauté mathématique.

C'est en 1872 que Karl Weierstrass expose à l'Académie royale des sciences de Berlin l'exemple d'une fonction continue partout et dérivable nulle part, appelée aujourd'hui fonction de Weierstrass.

Image d'une suite convergente - Mathématiques de Spécialité

I. Image d'une suite congergente par une fonction continue 

► Théorème

Soit  une fonction définie sur un intervalle I et  une suite dont les termes  appartiennent à I.

Si  converge vers un réel  de I et si  est continue en , alors la suite  converge vers . 

Exemple : 

Soit  la fonction définie sur  par  et  la suite définie sur  par . 

La suite  converge vers 0 et  est continue en 0 donc la suite  converge vers , c'est-à-dire vers 1. 

Remarque : la suite  a pour terme général , et donc .

Théorème des valeurs intermédiaires - Mathématiques de Spécialité

I. Point histoire 

Aux XV^e et XVI^e siècles, l’algèbre prend son essor avec la résolution d'équations du 3^e et du 4^e degré, notamment par Scipio del Ferro (1465-1526), Niccolo Tartaglia (1500-1557) et Jérôme Cardan (1501-1576).

Au début du XIX^e sècle, Niels Abel (1802-1829)  démontre l’impossibilité de résoudre par  radicaux des équations algébriques de degré 5.
Evariste Galois (1811-1832)  généralise cette démonstration à tous les degrés supérieurs à 5.

Le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire, que nous allons étudier ici, permettent de déterminer l'existence et le nombre de solutions d'une équation de la forme lorsque est une fonction continue sur un intervalle.

Le théorème des valeurs intermédiaires est aussi appelé théorème de Bolzano, en l'honneur du mathématicien Bernard Bolzano (1781-1848) qui fournit la première démonstration rigoureuse de ce théorème en 1817.

Algorithme de dichotomie - Mathématiques de Spécialité

I. Objectif 

On considère une fonction  continue et strictement monotome sur un intervalle , qui s'annule une seule fois dans cet intervalle. 

L'algorithme de dichotomie que l'on va présenter ici permet de donner un encadrement de la solution de l'équation . 

Il permet donc de donner une valeur approchée de la solution d'une équation que l'on ne sait pas résoudre par le calcul. 

Le mot dichotomie vient du grec ancien et signifie « division en deux parties ».

II. Principe

Exemple : 
Soit  la fonction définie sur  par .
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation  a une et une seule solution dans . On nomme  cette solution.
Ainsi  appartient à . L'amplitude de cet intervalle est de 6. 
On souhaite obtenir un intervalle de plus petite amplitude qui contient .