Calcul intégral - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale

Intégrale d'une fonction continue et positive - Mathématiques de Spécialité

I . Point histoire

Le calcul infinitésimal s’est développé autour de deux questions : le calcul des aires et des volumes (calcul intégral), et la détermination des tangentes à une courbe (calcul différentiel).

Parmi les précurseurs du calcul intégral, on peut citer Eudoxe de Cnide (408 av J.-C.-355 av J.-C.) à qui l’on attribue la méthode « d’exhaustion » qui consiste à calculer des aires par des encadrements successifs.

Au XVII^e siècle, Cavalieri (1598-1647) et Roberval (1602-1675) développent la méthode des indivisibles qui consiste à diviser une surface « en tranches » que l’on peut ensuite ajouter.
Grégoire de Saint-Vincent calcule l’aire comprise entre un segment de droite et un arc d’hyperbole.<
Fermat, Huygens, Pascal et Barrow reconnaissent que le calcul intégral est le problème inverse de celui de la dérivation.

II. Intégrale et aire sous la courbe 

On munit le plan d'un repère orthogonal . On appelle unité d'aire, l'aire du rectangle dont deux côtés sont  et .

Calculer une intégrale - Mathématiques de Spécialité

I. Théorème fondamental 

►Théorème fondamental

Soit  une fonction continue et positive sur un intervalle . 
La fonction  définie sur  par  est la primitive de  sur  qui s'annule en .
Ainsi, pour tout réel  de , . 

►Démonstration (au programme)

Dans le cas où  est croissante sur  : 
Soit  un réel non nul tel que .

• On se place dans le cas où . 

On va calculer le taux de variation  de  entre  et .

.

Comme  est continue et positive sur ,  est la différence entre l'aire de la surface hacurée en bleu et l'aire de la surface hachurée en rouge. Il s'agit donc de l'aire de la surface colorée en vert.

Majorer ou minorer une intégrale - Mathématiques de Spécialité

I. Positivité 

► Propriété 

Soit  une fonction continue sur un intervalle I, et  et  deux réels de I. 
Si, pour tout réel  de ,  alors .
La réciproque de cette propriété est fausse. 

Exemple : 
Pour tout réel  de ,  donc .

Applications du calcul intégral - Mathématiques de Spécialité

I. Calcul d'aires 

► Propriété

Soit  une fonction continue sur un intervalle  et  sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 
On nomme  l'aire, en unité d'aire, de la surface délimitée par , l'axe des abscisses, et les droites d'équations  et .
(1) Si  est positive sur , alors .
(2) Si  est négative sur , alors .

Exemple :
Soit  la fonction définie sur  par .
On veut calculer l'aire de la surface colorée ci-dessous. Cette aire est la somme de l'aire  et de l'aire .