Calcul intégral - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale
Votre enfant est en classe de Terminale et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques ?
Pour revoir le chapitre "Calcul intégral". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des tests de positionnement, des cours et des exercices.
Les notions abordées :
Intégrale d'une fonction continue et positive - Mathématiques de Spécialité
I . Point histoire
Le calcul infinitésimal s’est développé autour de deux questions : le calcul des aires et des volumes (calcul intégral), et la détermination des tangentes à une courbe (calcul différentiel).
Parmi les précurseurs du calcul intégral, on peut citer Eudoxe de Cnide (408 av J.-C.-355 av J.-C.) à qui l’on attribue la méthode « d’exhaustion » qui consiste à calculer des aires par des encadrements successifs.
Au XVIIe siècle, Cavalieri (1598-1647) et Roberval (1602-1675) développent la méthode des indivisibles qui consiste à diviser une surface « en tranches » que l’on peut ensuite ajouter.
Grégoire de Saint-Vincent calcule l’aire comprise entre un segment de droite et un arc d’hyperbole.<
Fermat, Huygens, Pascal et Barrow reconnaissent que le calcul intégral est le problème inverse de celui de la dérivation.
II. Intégrale et aire sous la courbe
On munit le plan d'un repère orthogonal . On appelle unité d'aire, l'aire du rectangle dont deux côtés sont
et
.
Calculer une intégrale - Mathématiques de Spécialité
I. Théorème fondamental
►Théorème fondamental
Soit une fonction continue et positive sur un intervalle
.
La fonction définie sur
par
est la primitive de
sur
qui s'annule en
.
Ainsi, pour tout réel de
,
.
►Démonstration (au programme)
Dans le cas où est croissante sur
:
Soit un réel non nul tel que
.
-
On se place dans le cas où
.
On va calculer le taux de variation de
entre
et
.
.
Comme est continue et positive sur
,
est la différence entre l'aire de la surface hacurée en bleu et l'aire de la surface hachurée en rouge. Il s'agit donc de l'aire de la surface colorée en vert.
Majorer ou minorer une intégrale - Mathématiques de Spécialité
I. Positivité
► Propriété
Soit une fonction continue sur un intervalle I, et
et
deux réels de I.
Si, pour tout réel de
,
alors
.
La réciproque de cette propriété est fausse.
Exemple :
Pour tout réel de
,
donc
.
Applications du calcul intégral - Mathématiques de Spécialité
I. Calcul d'aires
► Propriété
Soit une fonction continue sur un intervalle
et
sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On nomme l'aire, en unité d'aire, de la surface délimitée par
, l'axe des abscisses, et les droites d'équations
et
.
(1) Si est positive sur
, alors
.
(2) Si est négative sur
, alors
.
Exemple :
Soit la fonction définie sur
par
.
On veut calculer l'aire de la surface colorée ci-dessous. Cette aire est la somme de l'aire et de l'aire
.
Les derniers avis
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Les autres notions abordées dans le chapitre Cours et exercices de Mathématiques en Terminale Générale - Analyse