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Produit scalaire dans l'espace - Cours et exercices de Mathématiques de Spécialité, Terminale Générale

Votre enfant est en classe de Terminale et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques ?

Pour revoir le chapitre "Produit scalaire dans l'espace". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des tests de positionnement, des cours et des exercices.

Les notions abordées :

Calcul de produits scalaires - Mathématiques de Spécialité

I. Produit scalaire dans l'espace 

► Définition

Soit deux vecteurs  et  et trois points  et  tels que . Il existe au moins un plan  contenant ces trois points. 
Le produit scalaire des vecteurs  et  est le produit scalaire des vecteurs  et , calculé dans le plan .

  •  Si  et  sont non nuls, .

  • Si  ou , alors .

Propriété 

Le produit scalaire  est aussi noté .

Produit scalaire dans un repère - Mathématiques de Spécialité

I. Repère orthonormé de l’espace

► Définitions

(1) Dans l'espace, une base  est orthonormée si, et seulement si, les vecteurs  et  sont deux à deux orthogonaux et .
(2) Un repère  est dit orthonormé si, et seulement si, la base  est orthonormée.

Exemple :
Dans le cube  de côté 1 ci-dessous,  est un repère orthonormé.

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Orthogonalité de droites et de plans - Mathématiques de Spécialité

I. Droites orthogonales

► Définition

Soit deux droites  et  de vecteurs directeurs respectifs  et .
Les droites  et  sont orthogonales si, et seulement si, les vecteurs  et  sont orthogonaux. 
Les droites   et  sont perpendiculaires si, et seulement si, elles sont coplanaires et orthogonales. 

Exemple
On considère le cube  ci-dessous. 
Les droites  et  sont perpendiculaires car  étant carré, ses diagonales sont perpendiculaires. 
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Vecteur normal à un plan - Mathématiques de Spécialité

Définition

On dit qu'un vecteur non nul  est un vecteur normal à un plan  si  est un vecteur directeur d'une droite orthogonale au plan .
 
Propriété

Un vecteur non nul  est un vecteur normal à un plan  si, et seulement si,  est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires qui dirigent .

Projeté orthogonal d'un point - Mathématiques de Spécialité

I. Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Définition

Soit  un point et  une droite de l'espace.
Le projeté orthogonal de  sur  est l'unique point  tel que : 

  • si  appartient à  alors  est confondu avec 

  • sinon,  est le projeté orthogonal de  sur  dans le plan  qui passe par  et qui contient la droite .

Propriété

Le projeté orthogonal du point  sur une droite  ets le point de la droite  le plus proche du point M.

Équations cartésiennes d'un plan - Mathématiques de Spécialité

I. Équations cartésiennes

Propriété

L'espace est muni d'un repère orthonormé.

  • Un plan  de vecteur normal  a une équation de la forme 

  • Réciproquement, si , alors l'équation  est une équation d'un plan de vecteur normal .

Démonstration (au programme)

Soit  un point de .
appartient à  si, et seulement si, .

Or,  donc .

Intersection de droites et de plans - Mathématiques de Spécialité

I. Intersection d'une droite et d'un plan

Propriétés

Soit un plan  de vecteur normal  et une droite  de vecteur directeur 

  • et  sont sécants si, et seulement si, les vecteurs  et  ne sont pas orthogonaux.

  • est parallèle à  si, et seulement si, les vecteurs   et  sont orthogonaux (figure ci-dessous).

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