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Vecteurs - Cours et exercices de Maths, Seconde

Contenu du chapitre Vecteurs :

Ce chapitre traite des vecteurs.

Objectifs pédagogiques :

- Reconnaître des vecteurs égaux
- Construire la somme de deux vecteurs et le produit d’un vecteur par un réel
- Déterminer les coordonnées d'un vecteur
- Calculer les coordonnées d’une somme de vecteurs ou du produit d'un vecteur par un réel
- Calculer les coordonnées du milieu d’un segment
- Calculer la distance entre deux points
- Etablir la colinéarité de deux vecteurs
- Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs

Pour revoir le chapitre "Vecteurs". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s'adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée afin de l'aider à progresser.

Les notions abordées :

Notion de vecteur

On peut citer comme précurseurs du concept de vecteur les mathématiciens Giusto Bellavitis (1803 - 1880), William Rowan Hamilton (1805 - 1865) et Hermann Günther Grassmann (1809 - 1877)

Vecteur associé à une translation
Définition


Soit A et B deux point du plan. La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur AB.

Propriété
Lorsque A et B sont distincts, le vecteur AB est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur.
  • sa direction : celle de la droite (AB)
  • son sens : de A vers B
  • sa longueur : la longueur AB. Cette longueur est appelée la norme du vecteur AB. On la note ||AB||.

Somme de vecteurs et produit par un réel

Somme de vecteurs
Définition

Soit et v deux vecteurs.
La somme des vecteurs u et v est le vecteur, noté u + v, associé à la translation qui résulte de l'enchaînement des translations de vecteur u et de vecteur v.


...

Coordonnées d'un vecteur

Base de vecteurs et coordonnées d'un vecteur dans une base
Définition

Une base de vecteurs est un couple (i, j) de deux vecteurs non nuls et qui n'ont pas la même direction.
Une base (i, j) est orthonormée si les directions des deux vecteurs sont perpendiculaires.

Propriété et définition.
Soit une base (i, j) et u un vecteur.
Il existe un unique couple de réels (x ; y) tels que  u= xi yj.

...

Coordonnées d'une somme ou d'un produit

Propriété

Soit dans une base les vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') et soit un réel.
Les coordonnées de u + v sont (x + x' ; y + y').
Les coordonnées de ku sont (kx ; ky).

Exemple :

...

Coordonnées du milieu

Propriété

Soit dans un repère, les points A(xA ; yA) et B(xB ; yB).
Le milieu de [AB] a pour coordonnées ((xA + xB )/2 ; (yA + yB)/2).


Démonstration :
est le milieu de [AB] si, et seulement si , AK = KB.

....

Calcul d'une distance

Norme d'un vecteur
Propriété

Soit dans un base orthonormée, le vecteur u(x ; y).
La norme du vecteur est égale à : ||u|| = √(x2 + y2).

Distance entre deux points
Propriété

Soit dans un espace orthonormé, les points A(xA ; yA) et B(xB ; yB).

...

Vecteurs colinéaires

Définition

Deux vecteurs non nuls u et sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que v = ku.
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Remarque :
Deux vecteurs colinéaires non nuls ont le même direction.

Exemple :
Soit dans une base, les vecteurs u(3 ; -5), v(-6 ; 10) et w(-30 ; 50).

...

Alignement et parallélisme

Alignement de points
Propriété

Soit trois points distincts A, B, C.
Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Remarque:
Pour montrer que trois points A, B, C sont alignés, on peut montrer que AB et AC sont colinéaires, ou que AB et BC sont colinéaires...

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