Vecteurs - Cours et exercices de Maths, Seconde
Contenu du chapitre Vecteurs :
Ce chapitre traite des vecteurs.
Objectifs pédagogiques :
- Reconnaître des vecteurs égaux
- Construire la somme de deux vecteurs et le produit d’un vecteur par un réel
- Déterminer les coordonnées d'un vecteur
- Calculer les coordonnées d’une somme de vecteurs ou du produit d'un vecteur par un réel
- Calculer les coordonnées du milieu d’un segment
- Calculer la distance entre deux points
- Etablir la colinéarité de deux vecteurs
- Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs
Les notions abordées :
Notion de vecteur
On peut citer comme précurseurs du concept de vecteur les mathématiciens Giusto Bellavitis (1803 - 1880), William Rowan Hamilton (1805 - 1865) et Hermann Günther Grassmann (1809 - 1877)Vecteur associé à une translation
Définition
Soit A et B deux point du plan. La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur AB.
Propriété
Lorsque A et B sont distincts, le vecteur AB est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur.
- sa direction : celle de la droite (AB)
- son sens : de A vers B
- sa longueur : la longueur AB. Cette longueur est appelée la norme du vecteur AB. On la note ||AB||.
Somme de vecteurs et produit par un réel
Somme de vecteursDéfinition
Soit u et v deux vecteurs.
La somme des vecteurs u et v est le vecteur, noté u + v, associé à la translation qui résulte de l'enchaînement des translations de vecteur u et de vecteur v.
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Coordonnées d'un vecteur
Base de vecteurs et coordonnées d'un vecteur dans une baseDéfinition
Une base de vecteurs est un couple (i, j) de deux vecteurs non nuls et qui n'ont pas la même direction.
Une base (i, j) est orthonormée si les directions des deux vecteurs sont perpendiculaires.
Soit une base (i, j) et u un vecteur.
Il existe un unique couple de réels (x ; y) tels que u= xi + yj.
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Coordonnées d'une somme ou d'un produit
PropriétéSoit dans une base les vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') et soit k un réel.
Les coordonnées de u + v sont (x + x' ; y + y').
Les coordonnées de ku sont (kx ; ky).
Exemple :
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Coordonnées du milieu
PropriétéSoit dans un repère, les points A(xA ; yA) et B(xB ; yB).
Le milieu de [AB] a pour coordonnées ((xA + xB )/2 ; (yA + yB)/2).
Démonstration :
K est le milieu de [AB] si, et seulement si , AK = KB.
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Calcul d'une distance
Norme d'un vecteurPropriété
Soit dans un base orthonormée, le vecteur u(x ; y).
La norme du vecteur u est égale à : ||u|| = √(x2 + y2).
Distance entre deux points
Propriété
Soit dans un espace orthonormé, les points A(xA ; yA) et B(xB ; yB).
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Vecteurs colinéaires
DéfinitionDeux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que v = ku.
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Remarque :
Deux vecteurs colinéaires non nuls ont le même direction.
Exemple :
Soit dans une base, les vecteurs u(3 ; -5), v(-6 ; 10) et w(-30 ; 50).
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Alignement et parallélisme
Alignement de pointsPropriété
Soit trois points distincts A, B, C.
Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
Remarque:
Pour montrer que trois points A, B, C sont alignés, on peut montrer que AB et AC sont colinéaires, ou que AB et BC sont colinéaires...
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Les derniers avis
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