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Droites du plan - Cours et exercices de Maths, Seconde

Contenu du chapitre Droites du plan :

Ce chapitre traite des équations de droites et des systèmes d’équations linéaires à deux inconnues.

Objectifs pédagogiques :

- Déterminer et utiliser une équation cartésienne de droite
- Déterminer et utiliser l’équation réduite d’une droite
- Déterminer si deux droites sont parallèles ou sécantes
- Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues
- Résoudre un problème à l’aide d’un système
- Calculer les coordonnées du point d’intersection de deux droites sécantes

Pour revoir le chapitre "Droites du plan". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s'adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée afin de l'aider à progresser.

Les notions abordées :

Equation réduite

Equation réduite d'une droite

Exemple :
On considère la droite (d) d'équation cartésienne : 2x + y - 1 = 0.
Cette équation est équivalente à y = -2x + 1.
Cette équation est appelée équation réduite de (d).

Propriété et vocabulaire

Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme : y = mx + p avec m et p deux nombres réels.
m est la pente (coefficient directeur) de (d).
p est l'ordonnée à l'origine de (d).

Parallélisme et alignement

Droites parallèles
Propriété

Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Exemple :
On considère les droites (d) et (d') d'équations respectives : 2x +5y - 1 = 0 et 4x +10y - 1 =0.
Un vecteur directeur de (d) est u(-5 ; 2).
Un vecteur directeur de (d') est v(-10 ; 4).
On remarque que v = 2u donc ces deux vecteurs sont colinéaires.
Par conséquent, (d) et (d') sont parallèles.

...

Systèmes de deux équations

Résolution algébrique d'un système

Système à deux inconnues
Définition

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues x et y est de la forme :
  • {ax + by = c
  • {a'x + b'y = c' → où a, b, c, a', b' , c' sont des nombres donnés.
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, c'est trouver tous les couples qui vérifient les deux équations.

...

Résoudre un problème à l'aide d'un système

Exemple de mise en équation d'un problème

Problème:
Un père a quatre fois l'âge de son fils. Dans 5 ans, il en aura le triple.
Quel est l'âge du père est quel est l'âge du fils.

Pour résoudre ce problème, on suit la procédure suivante :
  • Choix des inconnues ;
  • Mise en équation du problème ;
  • Résolution du système d'équations ;
  • Conclusion ;
  • Vérification du résultat.

...

Points d'intersection de deux droites

Méthode

Pour calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites sécantes, on résout le système formé par les équations de ces deux droites.

Exemple:
Soit les droites (d) et (d') d'équations respectives 2x - y + 1= 0 et x - y + 2 = 0.
Ces deux droites sont sécantes car leurs vecteurs directeurs respectifs u(1 ; 2) et v(1 ; 1) ne sont pas colinéaires.

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