Variations des fonctions - Cours et exercices de Maths, Seconde
Contenu du chapitre Variations des fonctions :
Ce chapitre traite du sens de variation et des extremums d'une fonction.
Objectifs pédagogiques :
- Relier représentation graphique et tableau de variation
- Déterminer un maximum ou un minimum
- Relier sens de variation, signe et droite représentative d’une fonction affine
- Connaître et utiliser le sens de variation de la fonction carré
- Connaître et utiliser le sens de variation de la fonction inverse
- Connaître et utiliser le sens de variation des fonctions racine carrée et cube
- Modéliser un problème à l’aide d’une fonction
Les notions abordées :
Sens de variation
Variation d'une fonctionDéfinitions
Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I.
ƒ est croissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I,
Si a ≤ b, ƒ(a) ≤ ƒ(b). On dit que ƒ conserve l'ordre.
ƒ est décroissante sur I signifie que pour tous réels a et b de I,
Si a ≤ b, ƒ(a) ≥ ƒ(b). On dit que ƒ change l'ordre.
ƒ est constante sur I signifie que pour tous réels a et b de I, ƒ(a) = ƒ(b).
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Extremums et obtention d'inégalités
Maximum et minimumDéfinitions
Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I et a et b deux réels de I.
La fonction ƒ admet un maximum en a sur I signifie que pour tout réel x de I, ƒ(x) ≤ ƒ(a)
Le maximum est ƒ(a).
La fonction ƒ admet un minimum en b sur I signifie que pour tout réel x de I, ƒ(x) ≥ ƒ(b).
Le minimum est ƒ(b).
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Variations et signe d'une fonction affine
Fonctions affinesDéfinitions
Une fonction affine est une fonction ƒ définie sur R par une expression de la forme ƒ(x) = ax + b, avec a et b deux réels donnés.
Si a = 0, alors ƒ(x) = b : la fonction ƒ est une fonction constante.
Si b = 0, alors ƒ(x) = ax : la fonction ƒ est une fonction linéaire.
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Variations de la fonction carré
Sens de variationPropriété
Le fonction carré définie sur R par ƒ(x) = x2 est décroissante sur l'intervalle ] - ∞ ; 0] et croissante sur l'intervalle [0 ; + ∞ [.
Démonstration
Soit a et b deux nombres réels tels que a ≤ b.
On veut comparer a2 et b2.
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Variations de la fonction inverse
Sens de variationPropriété
La fonction inverse définie sur ] -∞ ; 0[∪]0 ; +∞[ par ƒ(x) = 1/x, est décroissante sur ] -∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ .
Soit a et b deux nombres réels non nuls tels que a ≤ b.
On veut comparer 1/a et 1/b
Pour cela on étudie le signe de 1/a - 1/b.
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Variations de la fonction cube et de la fonction racine carrée
Sens de variation de la fonction cubePropriété
La fonction cube définie sur R par ƒ(x) = x3 est croissante sur R.
Exemple :
On va comparer 0,93 et 1,13.
La fonction cube est croissante sur R.
Comme 0,9 ≤ 1,1, on en déduit que 0,93 ≤ 1,13.
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Modéliser une situation
On modélise un phénomène quand on le décrit par une formule, à l'aide d'une fonction...Exemple :
Sur la figure ci-dessous, dans un demi-cercle de diamètre [FH], on a tracé le demi-cercle de diamètre [FG] et le demi-cercle de diamètre [GH], G étant un point du segment [FH].
On souhaite étudier l'aire de la surface colorée selon la position du point G sur le segment [FH].
On pose FG = x, avec 0 < x < 10.
On introduit le fonction ƒ qui, à tout réel x de l'intervalle ]0 ; 10[, associe l'aire de la surface colorée
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Les derniers avis
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