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Variations des fonctions - Cours et exercices de Maths, Seconde

Contenu du chapitre Variations des fonctions :

Ce chapitre traite du sens de variation et des extremums d'une fonction.

Objectifs pédagogiques :

- Relier représentation graphique et tableau de variation
- Déterminer un maximum ou un minimum
- Relier sens de variation, signe et droite représentative d’une fonction affine
- Connaître et utiliser le sens de variation de la fonction carré
- Connaître et utiliser le sens de variation de la fonction inverse
- Connaître et utiliser le sens de variation des fonctions racine carrée et cube
- Modéliser un problème à l’aide d’une fonction

Pour revoir le chapitre "Variations des fonctions". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s'adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée afin de l'aider à progresser.

Les notions abordées :

Sens de variation

Variation d'une fonction
Définitions

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I.
ƒ est croissante sur I signifie que pour tous réels et  de I,
Si a ≤ b,  ƒ(a) ≤ ƒ(b). On dit que  ƒ conserve l'ordre.
ƒ est décroissante sur I signifie que pour tous réels et  de I,
Si a ≤ b,  ƒ(a) ≥ ƒ(b). On dit que  ƒ change l'ordre.
ƒ est constante sur I signifie que pour tous réels et  de Iƒ(a) = ƒ(b).

...

Extremums et obtention d'inégalités

Maximum et minimum
Définitions

Soit 
ƒ une fonction définie sur un intervalle I et et deux réels de I.

La fonction ƒ admet un maximum en a sur I signifie que pour tout réel de I,  ƒ(x) ≤ ƒ(a)
Le maximum est ƒ(a).


La fonction ƒ admet un minimum en sur I signifie que pour tout réel de I,  ƒ(x) ≥ ƒ(b).
Le minimum est ƒ(b).

...

Variations et signe d'une fonction affine

Fonctions affines
Définitions

Une fonction affine est une fonction ƒ définie sur R par une expression de la forme ƒ(x) = ax + b, avec et b deux réels donnés.
Si a = 0, alors ƒ(x) = b : la fonction ƒ est  une fonction constante.
Si b = 0, alors ƒ(x) = ax : la fonction ƒ est une fonction linéaire.

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Variations de la fonction carré

Sens de variation
Propriété

Le fonction carré définie sur R par ƒ(x) = x2 est décroissante sur l'intervalle ] - ∞ ; 0] et croissante sur l'intervalle [0 ; + ∞ [.
La fonction carré admet un minium égal à 0 pour x = 0.

Démonstration
Soit et b deux nombres réels tels que a ≤ b.
On veut comparer a2 et b2.


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Variations de la fonction inverse

Sens de variation
Propriété

La fonction inverse définie sur ] -∞ ; 0[∪]0 ; +∞[ par ƒ(x) = 1/x,  est décroissante sur ] -∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ .

Démonstration
Soit et deux nombres réels non nuls tels que a ≤ b.
On veut comparer 1/a et 1/b
Pour cela on étudie le signe de 1/a - 1/b.

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Variations de la fonction cube et de la fonction racine carrée

Sens de variation de la fonction cube
Propriété

La fonction cube définie sur R par ƒ(x) = x3 est croissante sur  R.

Exemple :
On va comparer 0,93 et 1,13.

La fonction cube est croissante sur R.
Comme 0,9 ≤ 1,1, on en déduit que 0,9≤  1,13.

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Modéliser une situation

On modélise un phénomène quand on le décrit par une formule, à l'aide d'une fonction...

Exemple : 
Sur la figure ci-dessous, dans un demi-cercle de diamètre [FH], on a tracé le demi-cercle de diamètre [FG] et le demi-cercle de diamètre [GH], G étant un point du segment [FH].
On souhaite étudier l'aire de la surface colorée selon la position du point G sur le segment [FH].
On pose FG = x, avec 0 < x < 10.
On introduit le fonction ƒ qui, à tout réel de l'intervalle ]0 ; 10[, associe l'aire de la surface colorée

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