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Équations et inéquations - Cours et exercices de Maths, Seconde

Contenu du chapitre :

Ce chapitre traite des équations se ramenant au premier degré et de la résolution d'une inéquation à partir de l'étude du signe d'une expresson produit ou quotient.

Objectifs pédagogiques :

- Résoudre une équation produit

- Résoudre une équation quotient

- Résoudre une inéquation du premier degré

- Déterminer le signe d'une expression produit

- Déterminer le signe d'une expression quotient

- Résoudre une inéquation produit

- Résoudre une inéquation quotient

Votre enfant est en Seconde et vous souhaitez l'aider à progresser en Maths ?

Pour revoir le chapitre "Équations et inéquations", Bordas Soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des diaporamas de cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s’adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée, afin de l’aider à progresser.

Les notions abordées :

Résolution d'équations se ramenant au premier degré

Équation du premier degré

Une équation du premier degré est une équation qui peut s'écrire sous la forme ax + b = 0, avec a et b deux réels donnés.

Propriétés

- On peut ajouter (ou soustraire) un même nombre à chaque membre d'une équation.

- On peut multiplier (ou diviser) chaque membre d'une équation par un même nombre non nul.

Exemple : Soit l'équation 2x - 5 = 5x + 7.

2x - 5 = 5x + 7 équivaut à 2x - 5x = 7 + 5, ce qui équivaut à - 3x = 12 et donc à x = - 4. Cette équation a pour solution - 4.

 

Signe d'un produit ou d'un quotient

Dans ce chapitre, on s'intéresse à l'étude du signe d'une expression

Déterminer le signe d'une expression A(x), c'est déterminer pour quelles valeurs de x, A(x) est positif, négatif ou nul.

Lorsque A(x) est un produit ou un quotient, on utilise la règle des signes :

- le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif,

- le produit ou le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.

Signe d'un produit

Exemple 1 : Soit l'expression A(x) = (x - 4)(x + 5).

A(x) est positif lorsque x - 4 et x + 5 sont de même signe, et est négatif lorsque x - 4 et x + 5 sont de signes contraires.

 

Inéquations du premier degré

Une inéquation du premier degré est une inéquation qui peut s'écrire sous la forme ax + b < 0, ax + b > 0 ... , a et b étant deux réels donnés.

Résolution algébrique

On peut ajouter (ou soustraire) un même nombre à chaque membre d'une inéquation.

On peut multiplier (ou diviser) chaque membre d'une inéquation par un même nombre strictement positif.

On peut multiplier (ou diviser) chaque membre d'une inéquation par un même nombre strictement négatif, en changeant le sens de l'inégalité.

 

Inéquation produit

Définition : Une inéquation de la forme A(x)B(x) < 0, A(x)B(x) > 0 .... est appelée inéquation produit.

Exemple : L'inéquation (x - 4)(x + 5) < 0 est une inéquation produit.

Les réels 2 et 7 sont-ils des solutions de cette inéquation ?

Pour x = 2 : (x - 4)(x + 5) = - 14 et - 14 < 0, donc 2 est solution.

Pour x = 7 : (x - 4)(x + 5) = 36 et 36 n'est pas strictement négatif, donc 7 n'est pas solution.

Pour résoudre une telle inéquation, on étudie le signe du produit

A(x)×B(x), puis on en déduit l'ensemble des solutions de l'inéquation.

La suite de ce cours est constituée d'exemples.

 

Inéquation quotient

Définition : Une inéquation de la forme A(x)B(x)

Exemple : L'inéquation x?4x+5

Les réels - 5 et - 4 sont-ils des solutions de cette inéquation ?

- Pour x = - 5, le dénominateur s'annule, donc le quotient n'existe pas : - 5 ne peut pas être solution (c'est une "valeur interdite").

- Pour x = - 4, x?4x+5 = - 8 et - 8 < 0 donc - 4 est solution.

Pour résoudre une telle inéquation, on étudie le signe du quotient A(x)B(x) , puis on en déduit l'ensemble des solutions de l'inéquation.

La suite de ce cours est constituée d'exemples.

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