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Variables aléatoires - Cours et exercices de Maths, Première Générale

Votre enfant est en classe de première et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques? Pour revoir le chapitre "Variables aléatoires". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s'adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée afin de l'aider à progresser.

Les notions abordées :

Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Variable aléatoire

Définition
Soit Ω l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire.
On définit une variable aléatoire X sur Ω quand on associe un nombre réel à chaque issue de Ω.
On dit que l'ensemble de ces réels est l'ensemble des valeurs prises par X.

Exemple :
On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré.
L'ensemble des issues est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.

La règle du jeu est la suivante :
  • on gagne 3€ si la face du dé qui sort est un multiple de 3 ;
  • on perd 2€ si la face du dé qui sort est 1, 2 ou 5 ;
  • on gagne 4€ si la face du dé qui sort est 4.
...

Espérance, variance et écart-type

Espérance d'une variable aléatoire

Définition
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs réelles distinctes x1, x2, ..., xn, avec les probabilités P( X = x1) = p1, P(X = x2) = p2, ..., P(X = xn) = pn.

L'espérance de X, notée E(X), est le nombre réel défini par :
E(X) = p1x1 + p2x2 + ... +  pnxn.

Interprétation : pour un grand nombre de réalisations de la variable aléatoire X, en moyenne, X prend la valeur E(X).

Exemple : 

...

Utiliser l'espérance dans un problème

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X peut s'interpréter comme la valeur moyenne des valeurs prises par X lors de la réalisation de l'expérience un grand nombre de fois.

Exemples :
  • On tire une carte dans un jeu de 32 cartes :
  • Si la carte est un Roi, on gagne 10 € ;
  • Sinon, on perd 1 €.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur.
E(X) = 4/32 × 10 + 28/32 × (-1) = 0,375

Si on joue un grand nombre de fois, on peut espérer gagner en moyenne 0,375 € par parties.
Ainsi, si on joue 1000 fois, on peut espérer gagner 375 €.

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