Variables aléatoires - Cours et exercices de Maths, Première Générale
Les notions abordées :
Loi de probabilité d'une variable aléatoire
Variable aléatoireDéfinition
Soit Ω l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire.
On définit une variable aléatoire X sur Ω quand on associe un nombre réel à chaque issue de Ω.
On dit que l'ensemble de ces réels est l'ensemble des valeurs prises par X.
Exemple :
On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé équilibré.
L'ensemble des issues est Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
La règle du jeu est la suivante :
- on gagne 3€ si la face du dé qui sort est un multiple de 3 ;
- on perd 2€ si la face du dé qui sort est 1, 2 ou 5 ;
- on gagne 4€ si la face du dé qui sort est 4.
Espérance, variance et écart-type
Espérance d'une variable aléatoireDéfinition
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs réelles distinctes x1, x2, ..., xn, avec les probabilités P( X = x1) = p1, P(X = x2) = p2, ..., P(X = xn) = pn.
L'espérance de X, notée E(X), est le nombre réel défini par :
E(X) = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn.
Interprétation : pour un grand nombre de réalisations de la variable aléatoire X, en moyenne, X prend la valeur E(X).
Exemple :
...
Utiliser l'espérance dans un problème
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X peut s'interpréter comme la valeur moyenne des valeurs prises par X lors de la réalisation de l'expérience un grand nombre de fois.Exemples :
- On tire une carte dans un jeu de 32 cartes :
- Si la carte est un Roi, on gagne 10 € ;
- Sinon, on perd 1 €.
E(X) = 4/32 × 10 + 28/32 × (-1) = 0,375
Si on joue un grand nombre de fois, on peut espérer gagner en moyenne 0,375 € par parties.
Ainsi, si on joue 1000 fois, on peut espérer gagner 375 €.
...
Les derniers avis
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Les autres notions abordées dans le chapitre Cours et exercices de Maths en Première Générale - Probabilités et statistiques