Produit scalaire - Cours et exercices de Maths, Première Générale
Les notions abordées :
Produit scalaire avec des normes et un angle
Définition :Soit deux vecteurs non nuls u et v, il existe trois points A, B et C tels que u = AB et v = AC. Le produit scalaire des vecteur u et v, est le réel noté u·v = ||u||×||v||×cos(BAC).
Si u = 0 ou v = 0 alors u·v = 0.
Exemple :
...
Produit scalaire avec la projection orthogonale
Projection orthogonaleDéfinition :
Soit A, B et C trois points distincts. Le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) est le point H, intersection de la perpendiculaire à (AB) passant par C et de la droite (AB).
Propriété :
Soit A, B et C trois points distincts et H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Alors AB·AC = AB·AH.
Exemple :
Sur la figure ci-dessous, CD =3, BD = 1, AD = 4 et AC = 5.
Propriétés du produit scalaire
Propriétés
Soit u, v et w des vecteurs et k un réel.
u•v = v•u
(ku)•v = u•(kv) = k × (u•v)
u•(v + w) = u•v + u•w
Remarque
(u + v)(u + v) = (u + v)2 = u•u + 2u•v + v•v
Exemple :
Soit trois vecteurs u, v et w tels que u•v = 5 et u•w = 2.
v•u = u•v =5
u•(v + w) = u•v + u•w = 5 + 2 = 7
...
Produit scalaire dans un repère orthonormé
Expression analytique du produit scalairePropriété
Dans une base orthonormée (i ; j), on considère les vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y').
Alors u•v = xx' + yy'.
Démonstration :
u•v = (xi + yj)•(x'i + y'j)
donc u•v = (xi)•(x'i) + (xi)•(y'j) + (yj)•(x'i) + (yj)•(y'j)
donc u•v = xx'i•i + xy'i•j +yx'j•i +yy'j•j
Or i•i = || i || = 1 et j•j = || j || = 1 et i•j = j•i = 0
donc u•v = xx' +yy'
Exemple :
...
Application du produit scalaire
Produit scalaire avec des normesPropriété
Soit deux vecteurs u et v.
||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 + 2u•v
Démonstration :
||u + v||2 = (u + v)2
donc ||u + v||2 = u2 + v2 + 2u•v
donc ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 + 2u•v
Exemple :
On considère un parallélogramme ABCD tel que AB = 4, BC = 5 et AC = 2.
On va calculer AB•AD.
...
Les derniers avis
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Les autres notions abordées dans le chapitre Cours et exercices de Maths en Première Générale - Géométrie
