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Produit scalaire - Cours et exercices de Maths, Première Générale

Votre enfant est en classe de première et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques? Pour revoir le chapitre "Produit scalaire". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s'adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée afin de l'aider à progresser.

Les notions abordées :

Produit scalaire avec des normes et un angle

Définition :

Soit deux vecteurs non nuls u et v, il existe trois points A, B et C tels que u = AB et v = AC. Le produit scalaire des vecteur u et v, est le réel noté u·v = ||u||×||v||×cos(BAC).
Si u = 0 ou v = 0 alors u·v = 0.

Exemple : 

...

Produit scalaire avec la projection orthogonale

Projection orthogonale

Définition :
Soit A, B et C trois points distincts. Le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) est le point H, intersection de la perpendiculaire à (AB) passant par C et de la droite (AB).

Propriété :
Soit A, B et C trois points distincts et H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Alors AB·AC = AB·AH.

Exemple :
Sur la figure ci-dessous, CD =3, BD = 1, AD = 4 et AC = 5.

...

Propriétés du produit scalaire

Propriétés

Soit u, v et w des vecteurs et k un réel.
u•v = v•u
(ku)•v = u•(kv) = k × (u•v)
u•(v + w) = u•v + u•w

Remarque
(u + v)(u + v) = (u + v)2 = u•u + 2u•v + v•v

Exemple :
Soit trois vecteurs u, v et w tels que u•v = 5 et u•w = 2.
v•u = u•v =5
u•(v + w) = u•v + u•w = 5 + 2 = 7

...

Produit scalaire dans un repère orthonormé

Expression analytique du produit scalaire

Propriété
Dans une base orthonormée (i ; j), on considère les vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y').
Alors u•v = xx' + yy'.

Démonstration : 
u•v = (xi + yj)•(x'i + y'j)
donc u•v = (xi)•(x'i) + (xi)•(y'j) + (yj)•(x'i) + (yj)•(y'j)
donc u•v = xx'i•i + xy'i•j +yx'j•i +yy'j•j
Or i•i = || i || = 1 et j•j = || j || = 1 et i•j = j•i = 0
donc u•v = xx' +yy'

Exemple :

...

Application du produit scalaire

Produit scalaire avec des normes

Propriété

Soit deux vecteurs u et v.
||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 + 2u•v

Démonstration :
||u + v||2 = (u + v)2 
donc ||u + v||2 = u2 + v2 + 2u•v
donc ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 + 2u•v

Exemple :
On considère un parallélogramme ABCD tel que AB = 4, BC = 5 et AC = 2.
On va calculer AB•AD.

...

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