Je gère mon compte

(abonnement(s), données personnelles)

Mot de passe oublié ?

J'accède à la plateforme
de Soutien scolaire

Je me connecte à la plateforme

Produit scalaire - Cours et exercices de Maths, Première Générale

Votre enfant est en classe de première et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques? Pour revoir le chapitre "Produit scalaire". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s'adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée afin de l'aider à progresser.

Les notions abordées :

Produit scalaire avec des normes et un angle

Définition :

Soit deux vecteurs non nuls u et v, il existe trois points A, B et C tels que u = AB et v = AC. Le produit scalaire des vecteur u et v, est le réel noté u·v = ||u||×||v||×cos(BAC).
Si u = 0 ou v = 0 alors u·v = 0.

Exemple : 

...

Produit scalaire avec la projection orthogonale

Projection orthogonale

Définition :
Soit A, B et C trois points distincts. Le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) est le point H, intersection de la perpendiculaire à (AB) passant par C et de la droite (AB).

Propriété :
Soit A, B et C trois points distincts et H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Alors AB·AC = AB·AH.

Exemple :
Sur la figure ci-dessous, CD =3, BD = 1, AD = 4 et AC = 5.

...

Propriétés du produit scalaire

Propriétés

Soit u, v et w des vecteurs et k un réel.
u•v = v•u
(ku)•v = u•(kv) = k × (u•v)
u•(v + w) = u•v + u•w

Remarque
(u + v)(u + v) = (u + v)2 = u•u + 2u•v + v•v

Exemple :
Soit trois vecteurs u, v et w tels que u•v = 5 et u•w = 2.
v•u = u•v =5
u•(v + w) = u•v + u•w = 5 + 2 = 7

...

Produit scalaire dans un repère orthonormé

Expression analytique du produit scalaire

Propriété
Dans une base orthonormée (i ; j), on considère les vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y').
Alors u•v = xx' + yy'.

Démonstration : 
u•v = (xi + yj)•(x'i + y'j)
donc u•v = (xi)•(x'i) + (xi)•(y'j) + (yj)•(x'i) + (yj)•(y'j)
donc u•v = xx'i•i + xy'i•j +yx'j•i +yy'j•j
Or i•i = || i || = 1 et j•j = || j || = 1 et i•j = j•i = 0
donc u•v = xx' +yy'

Exemple :

...

Application du produit scalaire

Produit scalaire avec des normes

Propriété

Soit deux vecteurs u et v.
||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 + 2u•v

Démonstration :
||u + v||2 = (u + v)2 
donc ||u + v||2 = u2 + v2 + 2u•v
donc ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 + 2u•v

Exemple :
On considère un parallélogramme ABCD tel que AB = 4, BC = 5 et AC = 2.
On va calculer AB•AD.

...

Les derniers avis

Donnez votre Avis

Les autres notions abordées dans le chapitre Cours et exercices de Maths en Première Générale - Géométrie

Géométrie repérée - Cours et exercices de Maths, Première Générale

Vous souhaitez ...
  • Recevoir notre documentation ?
  • Bénéficier de nos offres spéciales ?
  • Être tenu informé de nos actualités ?
Veuillez cocher la case et renseigner votre e-mail si vous souhaitez recevoir les actualités et des communications de la part de Bordas Soutien Scolaire par voie électronique en lien avec vos centres d'intérêt et/ou vos activités.
À tout moment, vous pourrez vous désinscrire à travers le lien de désinscription présent dans chacun de nos mails. Conformément à la Loi Informatique et Liberté n°78-17 du 6 janvier 1978 modifiée, au Règlement (UE) 2016/679 et à la Loi pour une République numérique du 7 octobre 2016, vous disposez du droit d’accès, de rectification, de limitation, d’opposition, de suppression, du droit à la portabilité de vos données, de transmettre des directives sur leur sort en cas de décès. Vous pouvez exercer ces droits en adressant un mail à : contact-donnees@sejer.fr Vous avez la possibilité de former une réclamation auprès de l’autorité compétente.
Consultez la charte de protection des données personnelles