Je gère mon compte

(abonnement(s), données personnelles)

Mot de passe oublié ?

J'accède à la plateforme
de Soutien scolaire

Je me connecte à la plateforme

Fonction exponentielle - Cours et exercices de Maths, Première Générale

Votre enfant est en classe de première et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques? Pour revoir le chapitre "Fonction exponentielle". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s'adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée afin de l'aider à progresser.

Les notions abordées :

Propriétés de l'exponentielle

Fonction exponentielle
Propriété et définition

Il existe une unique fonction ƒ définie et dérivable sur R telle que : ƒ' = ƒ et ƒ(0) = 1
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle. On la note provisoirement exp.

Démonstration
On admet l'existence d'une telle fonction. On démontre son unicité.
Montrons que ƒ ne s'annule pas sur R.
Soit p la fonction dénie sur R par p(x) = f(x) × f(-x).
La fonction p est dérivable sur R et pour tout réel x, on a : 

...
...

Équations et inéquations avec l'exponentielle

Signe de la fonction exponentielle
Propriété
La fonction exponentielle est strictement positive sur R.

Démonstration

Pour tout réel x,

ex = e0,5x + 0,5x = e0,5x + e0,5x = (e0,5x)2
Donc ex ≥ 0.
Or la fonction exponentielle ne s'annule pas, donc ex > 0.

Cette propriété permet d'étudier le signe de certaines expressions contenant des exponentielles.

Exemples: 
Pour tout réel x, 2ex + 3 > 0 car somme des termes strictement positifs.
Pour tout réel x, -1 - 7ex < 0 car somme des termes strictement négatifs.
Pour tout réel x, e-x + 8 > 0 car l'image de tout réel par la fonction exponentielle est un nombre strictement positif, donc l'image de -x + 8 est un nombre strictement positif.

Résolutions d'équations et d'inéquations

...

Fonction exponentielle

Courbe représentative, variation, signe

Propriété
La fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur R.
La courbe représentative de la fonction exponentielle est donc toujours au-dessus de l'axe des abscisses.

Fonction x → eax + b

Propriété
Soit ƒ la fonction définie sur R par ƒ(x) = eax+b avec a et b deux réels.
ƒ est dérivable sur R et pour tout réel x, ƒ'(x) = aeax + b.

Exemples : 
Soit ƒ, g et h les fonctions définies sur R par ƒ(x) = e0,5x, g(x)= e2x et h(x) = e-x.
Pour tout réel x, ƒ'(x) = 0,5e0,5x. Comme e0,5x > 0, ƒ'(x) > 0 et ƒ est croissante sur R.

...

Etudier une fonction avec l'exponentielle

Pour étudier une fonction contenant des exponentielles, on utilise les mêmes propriétés que pour les fonctions étudiées jusqu'à présent.
On calcule sa dérivée et on étudie son signe.
On en déduit les variations de la fonction et ses extremums éventuels.

Exemple 1 :
Soit ƒ la fonction définie sur R par ƒ(x) = 3x + ex.
On va étudier les variations de ƒ.

ƒ est dérivable sur R et pour tout réel x, ƒ'(x) = 3 + ex.
Pour tout réel x, ex > 0 donc 3 + ex > 3. Par conséquent, f'(x) > 0 et ƒ est croissante sur R.


...

Modéliser un phénomène avec l'exponentielle

La fonction exponentielle permet de modéliser de très nombreux phénomènes : en physique, en biologie ou en économie.

Voici quelques exemples.

Exemple 1 : 
En physique, la loi de refroidissement de newton stipule que la vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle du milieu ambiant. En notant Θ(t) la température du corps à l'instant t (en heures), pour un corps dont la température est de 100 °C placé dans une salle à 20° C, la fonction Θ est définie sur [0 ; + ∞[ par Θ(t) 80e-2,08t + 20.
Avec cette fonction, on a Θ'(t) = -2,08(Θ(t) - 20).

...

Les derniers avis

Vous souhaitez ...
  • Recevoir notre documentation ?
  • Bénéficier de nos offres spéciales ?
  • Être tenu informé de nos actualités ?