Fonction exponentielle - Cours et exercices de Maths, Première Générale
Les notions abordées :
Propriétés de l'exponentielle
Fonction exponentiellePropriété et définition
Il existe une unique fonction ƒ définie et dérivable sur R telle que : ƒ' = ƒ et ƒ(0) = 1
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle. On la note provisoirement exp.
Démonstration
On admet l'existence d'une telle fonction. On démontre son unicité.
Montrons que ƒ ne s'annule pas sur R.
Soit p la fonction dénie sur R par p(x) = f(x) × f(-x).
La fonction p est dérivable sur R et pour tout réel x, on a :
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Équations et inéquations avec l'exponentielle
Signe de la fonction exponentiellePropriété
La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
Démonstration
Pour tout réel x,
ex = e0,5x + 0,5x = e0,5x + e0,5x = (e0,5x)2
Donc ex ≥ 0.
Or la fonction exponentielle ne s'annule pas, donc ex > 0.
Cette propriété permet d'étudier le signe de certaines expressions contenant des exponentielles.
Exemples:
Pour tout réel x, 2ex + 3 > 0 car somme des termes strictement positifs.
Pour tout réel x, -1 - 7ex < 0 car somme des termes strictement négatifs.
Pour tout réel x, e-x + 8 > 0 car l'image de tout réel par la fonction exponentielle est un nombre strictement positif, donc l'image de -x + 8 est un nombre strictement positif.
Résolutions d'équations et d'inéquations
...
Fonction exponentielle
Courbe représentative, variation, signePropriété
La fonction exponentielle est strictement positive et croissante sur R.
La courbe représentative de la fonction exponentielle est donc toujours au-dessus de l'axe des abscisses.
Fonction x → eax + b
Propriété
Soit ƒ la fonction définie sur R par ƒ(x) = eax+b avec a et b deux réels.
ƒ est dérivable sur R et pour tout réel x, ƒ'(x) = aeax + b.
Exemples :
Soit ƒ, g et h les fonctions définies sur R par ƒ(x) = e0,5x, g(x)= e2x et h(x) = e-x.
Pour tout réel x, ƒ'(x) = 0,5e0,5x. Comme e0,5x > 0, ƒ'(x) > 0 et ƒ est croissante sur R.
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Etudier une fonction avec l'exponentielle
Pour étudier une fonction contenant des exponentielles, on utilise les mêmes propriétés que pour les fonctions étudiées jusqu'à présent.On calcule sa dérivée et on étudie son signe.
On en déduit les variations de la fonction et ses extremums éventuels.
Exemple 1 :
Soit ƒ la fonction définie sur R par ƒ(x) = 3x + ex.
On va étudier les variations de ƒ.
ƒ est dérivable sur R et pour tout réel x, ƒ'(x) = 3 + ex.
Pour tout réel x, ex > 0 donc 3 + ex > 3. Par conséquent, f'(x) > 0 et ƒ est croissante sur R.
...
Modéliser un phénomène avec l'exponentielle
La fonction exponentielle permet de modéliser de très nombreux phénomènes : en physique, en biologie ou en économie.Voici quelques exemples.
Exemple 1 :
En physique, la loi de refroidissement de newton stipule que la vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la différence entre la température du corps et celle du milieu ambiant. En notant Θ(t) la température du corps à l'instant t (en heures), pour un corps dont la température est de 100 °C placé dans une salle à 20° C, la fonction Θ est définie sur [0 ; + ∞[ par Θ(t) 80e-2,08t + 20.
Avec cette fonction, on a Θ'(t) = -2,08(Θ(t) - 20).
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Les derniers avis
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Les autres notions abordées dans le chapitre Cours et exercices de Maths en Première Générale - Analyse
