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Dérivation : point de vue global - Cours et exercices de Maths, Première Générale

Votre enfant est en classe de première et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques? Pour revoir le chapitre "Dérivation : point de vue global". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s'adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée afin de l'aider à progresser.

Les notions abordées :

Fonction dérivée

Définition

Une fonction ƒ est dérivable sur un intervalle I lorsqu'elle est dérivable en tout point de I. La fonction qui, à tout réel
x de I, associe ƒ'(x) est appelée fonction dérivée de ƒ. On la note ƒ'.

Dérivée des fonctions de référence

1. Dérivée d'une fonction constante :
Soit k un nombre réel constant.
La fonction définie sur R par ƒ(x) = k est dérivable sur R et pour tout réel x, ƒ'(x) = 0.

2. Dérivée de la fonction identité : 
La fonction ƒ est définie sur R par ƒ(x) = x est dérivable sur R et pour tout réel x, ƒ'(x) = 1.

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Fonction dérivée de ku et de u+v

Fonction dérivée de ku

Définition
Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k un nombre réel.
La fonction ku est la fonction qui, à tout réel x de I, associe ku(x).

Exemples :
Soit ƒ la fonction définie sur R par ƒ(x) = -3x2.
ƒ = -3u avec u définie sur R par u(x) = x2.

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Fonction dérivée de uv

Définition

Soit u et v deux fonctions définies sur un intervalle I.
la fonction uv est la fonction qui à tout réel x de I, associe u(x)v(x).

Exemple :
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = x2(2x + 3).
g = uv avec u et v définies sur R par u(x) = x2 et v(x) = 2x + 3.

Propriété

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
La fonction uv est dérivable sur I et (uv)' = u'v + uv'.

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Fonction dérivée de 1/u

Définition

Soit u une fonction sur un intervalle I et ne s'annulant pas sur I.
La fonction 1/u est la fonction qui, à tout réel x de I, associe 1/u(x).

Exemples :
Soit ƒ la fonction définie sur R par ƒ(x) = 1/(x+ 1).
ƒ = 1/u avec u définie sur R par u(x) = x2 + 1.

Soit g la fonction définie sur ]3 ; +∞[ par g(x) = 1/(x - 3).
g = 1/u avec u définie sur ]3 ; +∞[ par u(x) = x - 3.

Propriété

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et ne s'annulant pas sur I.

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Fonction dérivée de u/v

Définition

Soit u et v deux fonctions définies sur intervalle I, la fonction v ne s'annulant pas sur I.
La fonction u/v est la fonction qui, à tout réel x de I associe u(x)/v(x).

Exemples

Soit f la fonction définie sur ]3 ; +∞[ par f(x) = (2x + 1)/(x - 3)
Soit u/v avec u(x) = 2x +1 et v(x) = x - 3.

Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = √x/x.
g = u/v avec u(x) = √x et v(x) = x.

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Autres fonctions dérivées

Fonction dérivée de x → xn avec n entier non nul.

Propriété

Soit n un entier non nul.
Si n > 0, la fonction ƒ définie sur R par ƒ(x) = xn est dérivable sur b et ƒ'(x) = nxn-1.
Si n < 0 la fonction ƒ définie sur ]- ∞ ; 0[ ⋃ ]0 ; + ∞[  par ƒ(x) = xn est dérivable sur ]- ∞ ; 0[ et sur ]0 ; + ∞[ et ƒ'(x) = nxn-1.

Exemples :
Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x7.
h est dérivable sur R et pour tout réel x, h'(x) = 7x6.

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Résoudre un problème

Il existe de nombreuses applications au calcul des dérivées. Par exemple :
  • En physique, le calcul de la vitesse instantanée ;
  • En biologie, le calcul d'un taux de croissance ;
  • En économie, le calcul du coût marginal.
Le coût marginal est le coût occasionné par la production d'une unité supplémentaire. Si le coût de fabrication est modélisé par une C, le coût engendré par la production d'une unité supplémentaire lorsqu'on en a produit q, est C(q+1) - C(q). Les économistes considèrent que C'(q) est une bonne approximation de ce coût marginal.

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