Dérivation : point de vue global - Cours et exercices de Maths, Première Générale
Les notions abordées :
Fonction dérivée
DéfinitionUne fonction ƒ est dérivable sur un intervalle I lorsqu'elle est dérivable en tout point de I. La fonction qui, à tout réelx de I, associe ƒ'(x) est appelée fonction dérivée de ƒ. On la note ƒ'.
Dérivée des fonctions de référence
1. Dérivée d'une fonction constante :
Soit k un nombre réel constant.
La fonction définie sur R par ƒ(x) = k est dérivable sur R et pour tout réel x, ƒ'(x) = 0.
2. Dérivée de la fonction identité :
La fonction ƒ est définie sur R par ƒ(x) = x est dérivable sur R et pour tout réel x, ƒ'(x) = 1.
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Fonction dérivée de ku et de u+v
Fonction dérivée de kuDéfinition
Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k un nombre réel.
La fonction ku est la fonction qui, à tout réel x de I, associe ku(x).
Exemples :
Soit ƒ la fonction définie sur R par ƒ(x) = -3x2.
ƒ = -3u avec u définie sur R par u(x) = x2.
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Fonction dérivée de uv
DéfinitionSoit u et v deux fonctions définies sur un intervalle I.
la fonction uv est la fonction qui à tout réel x de I, associe u(x)v(x).
Exemple :
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = x2(2x + 3).
g = uv avec u et v définies sur R par u(x) = x2 et v(x) = 2x + 3.
Propriété
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
La fonction uv est dérivable sur I et (uv)' = u'v + uv'.
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Fonction dérivée de 1/u
DéfinitionSoit u une fonction sur un intervalle I et ne s'annulant pas sur I.
La fonction 1/u est la fonction qui, à tout réel x de I, associe 1/u(x).
Exemples :
Soit ƒ la fonction définie sur R par ƒ(x) = 1/(x2 + 1).
ƒ = 1/u avec u définie sur R par u(x) = x2 + 1.
Soit g la fonction définie sur ]3 ; +∞[ par g(x) = 1/(x - 3).
g = 1/u avec u définie sur ]3 ; +∞[ par u(x) = x - 3.
Propriété
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et ne s'annulant pas sur I.
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Fonction dérivée de u/v
DéfinitionSoit u et v deux fonctions définies sur intervalle I, la fonction v ne s'annulant pas sur I.
La fonction u/v est la fonction qui, à tout réel x de I associe u(x)/v(x).
Exemples :
Soit f la fonction définie sur ]3 ; +∞[ par f(x) = (2x + 1)/(x - 3)
Soit u/v avec u(x) = 2x +1 et v(x) = x - 3.
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = √x/x.
g = u/v avec u(x) = √x et v(x) = x.
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Autres fonctions dérivées
Fonction dérivée de x → xn avec n entier non nul.Propriété
Soit n un entier non nul.
Si n > 0, la fonction ƒ définie sur R par ƒ(x) = xn est dérivable sur b et ƒ'(x) = nxn-1.
Si n < 0 la fonction ƒ définie sur ]- ∞ ; 0[ ⋃ ]0 ; + ∞[ par ƒ(x) = xn est dérivable sur ]- ∞ ; 0[ et sur ]0 ; + ∞[ et ƒ'(x) = nxn-1.
Exemples :
Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x7.
h est dérivable sur R et pour tout réel x, h'(x) = 7x6.
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Résoudre un problème
Il existe de nombreuses applications au calcul des dérivées. Par exemple :- En physique, le calcul de la vitesse instantanée ;
- En biologie, le calcul d'un taux de croissance ;
- En économie, le calcul du coût marginal.
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Les derniers avis
Ma mère m'a pris un abonnement pour le dernier trimestre de ma 3ème et m'aider à mieux réviser pour le brevet des collèges. J'ai beaucoup aimé le côté pratique et accessible depuis n'importe quel support. Ça m'a permis aussi de m'organiser. Et j'ai eu mon brevet ! :-)Manon 16/10/2019
Bonjour, Bordas est le seul support sur lequel mon fils ait travaillé cette année. Résultat il a eu son brevet avec mention ! Merci. On continue l'an prochain !!S-T 12/07/2019
Site parfait pour les enfants motivés... Au départ, la partie où on évalue le niveau peut bloquer les enfants mais c’est un passage obligé... 2 enfants ont un compte. Celle qui y va régulièrement est très contente et ça l’aide pour s’entraîner. En revanche, l’autre qui voulait juste un petit complément d’explication a laissé tomber ... Je recommande et recommence l’an prochain c’est sûr !Amelie 26/03/2019
Je n'ai pas regretté d'avoir choisi le support Bordas pour mes enfants!Solonirina 26/03/2019
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C'est bien et les exercices sont en lien avec mes cours au Collège.kcamille 22/03/2019
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Les autres notions abordées dans le chapitre Cours et exercices de Maths en Première Générale - Analyse