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Applications de la dérivation - Cours et exercices de Maths, Première Générale

Votre enfant est en classe de première et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques? Pour revoir le chapitre "Applications de la dérivation". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s'adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée afin de l'aider à progresser.

Les notions abordées :

Sens de variation et signe de la dérivée

Du signe de la dérivée au sens de variation de la fonction

Propriétés

Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si pour tout réel x de Iƒ'(x) ≥ 0 alors ƒ est croissante sur I.
Si pour tout réel x de Iƒ'(x) ≤ 0 alors ƒ est décroissante sur I.
Si pour tout réel x de Iƒ'(x) = 0 alors ƒ est constante sur I.

Exemple :
Soit ƒ une fonction dérivable sur [ -5 ; 10].
On donne ci-dessous le tableau de signe de la fonction dérivée de ƒ.

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Etudier les variation d'une fonction

Propriétés

Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si pour tout réel x de Iƒ'(x) ≥ 0 alors ƒ est croissante sur I.
Si pour tout réel x de Iƒ'(x) ≤ 0 alors ƒ est décroissante sur I.
Si pour tout réel x de Iƒ'(x) = 0 alors ƒ est constante sur I.

Méthode :

Pour déterminer les variations d'une fonction, on doit donc étudier le signe de sa dérivée.

Exemple :
Soit ƒ une fonction définie sur R par ƒ(x) = -5x + 7.
ƒ est dérivable sur R et f'(x) = -5.
Pour tout réel x, f'(x) ≤ 0 donc sur R.

...

Extremums d'une fonction

Point histoire

En 1615, Kepler (1571 - 1630) observe, comme l'avait fait auparavant Nicole Oresme (vers 1320 - 1382), que la variation d'une « fonction » est particulièrement lente au voisinage d'un maximum.
Pierre de Fermat (1601 - 1665), pour trouver le maximum ou le minimum d'une quantité p(a) dépendant d'une variable a, utilisait la méthode suivante :
D'abord il faut écrire une « adégalité » p(a + e) ~ p(a), puis il faut la simplifier de sorte de ne garder que des termes qui sont multiples de e. Ensuite, on divise tous les termes par e. Cela fait, on supprime tous les termes dans lesquels e apparaît encore. On obtient alors une équation dont les solutions sont les valeurs de a maximisant ou minimisant la quantité de p(a).
Aujourd'hui, on peut interpréter cette méthode, plus algébrique qu'analytique, comme la recherche des point où la dérivée s'annule.

Maximum et minimum

...

Résoudre un problème

L'étude des variations d'une fonction, de ses extremums éventuels, permet de résoudre de nombreux problèmes.

Ces problèmes peuvent être purement théoriques, ou bien provenir de situations géométriques, économiques, physiques, etc.

Exemple en géométrie :
Dans chaque coin d'un morceau de carton carré de 12 centimètres de côté, on découpe des carrés de côté x centimètres (0 < x < 6). avec la feuille ainsi découpée, en relevant les bords, on construit une boîte sans couvercle.

On veut déterminer pour qu'elle valeur de x le volume de la boîte est maximal.

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Résoudre un problème

L'étude des variations d'une fonction, de ses extremums éventuels, permet de résoudre de nombreux problèmes.

Ces problèmes peuvent être purement théoriques, ou bien provenir de situations géométriques, économiques, physiques, etc.

Exemple en géométrie :
Dans chaque coin d'un morceau de carton carré de 12 centimètres de côté, on découpe des carrés de côté x centimètres (0 < x < 6). avec la feuille ainsi découpée, en relevant les bords, on construit une boîte sans couvercle.

On veut déterminer pour qu'elle valeur de x le volume de la boîte est maximal.

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