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Suites arithmétiques et suites géométriques - Cours et exercices de Maths, Première Générale

Votre enfant est en classe de première et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques? Pour revoir le chapitre "Suites arithmétiques et suites géométriques". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s'adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée afin de l'aider à progresser.

Les notions abordées :

Suites arithmétiques

Définition
Une suite (Un) est dite arithmétique lorsque chaque terme se déduit du précédent en ajoutant une constante r, appelée la raison.

Autrement dit :
Une suite (Un)  est arithmétique de raison r si pour tout entier naturel n, Un+1 = Un + r

Une suite arithmétiques est définie dès que l'on connaît son premier terme et sa raison.

Exemples : 
  • La suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 5 a pour premiers termes : 2 ; 7 ; 12 ; 17 ; 22...
  • La suite arithmétique de premier terme 11 et de raison - 2 a pour premiers termes : 11 ; 9 ; 7 ; 5 ; 3...

Accroissement constant

...

Calculer avec une suite arithmétique

Sens de variation d'une suite arithmétique
Propriété

Soit (Un) une suite arithmétique de raison r.
  • Si r > 0, alors la suite (Un) est croissante.
  • Si r = 0, alors la suite (Un) est constante.
  • Si r < 0 alors la suite (Un) est décroissante.
Exemples : 
La suite arithmétique de premier terme -9 et de raison 2 est croissante car sa raison est positive.
La suite (Un) définie par U0 = 2 et Un+1 = Un - 9 pour tout entier naturel n, est décroissante car sa raison, égale à -9, est négative.

Somme des termes d'une suite arithmétique

...

Modéliser à l'aide d'une suite arithmétique

Les suites arithmétiques permettent de modéliser des phénomènes discrets à croissance linéaire.

Exemple :
Un coureur court 3000 mètres un week-end. Il décide ensuite d'augmenter de 450 mètres la distance courue chaque semaine, si on note an la distance (en mètres) parcourue n semaines après la première course, on a a0 = 3000 et an+1 = an + 450.
Cette suite est donc arithmétique de raison 450 et de premier terme 3000. On en déduit que an = 3000 + 450n.
On peut alors calculer qu'au bout de 15 semaines, le coureur parcourt 3000 + 450 × 15 = 9750 mètres.

Exemple :

...

Suites géométriques

Définition

Une suite (Un) est dite géométrique lorsque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par une constante q, appelée la raison.

Autrement dit : 
Une suite (Un) est géométrique de raison q si pour tout n ∈ N, Un+1 = q × Un.

Une suite géométrique est définie dès que l'on connaît son premier terme et sa raison.

Exemples :
  • La suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3 a pour premiers termes : 2 ; 6 ; 12 ; 54 ; 162...
  • La suite géométrique de premier terme 12 et de raison - 0, a pour premiers termes : 12 ; -6 ; 3 ; - 1,5 ; 0,75...


Propriété

...

Calculer avec une suite géométriques

Sens de variation
Le sens de variation d'une suite géométrique dépend du premier terme U0 et de la raison q de cette suite.

Exemple :
Soit (Un) la suite géométrique de premier terme U0 = 3 et de raison q = 1,2.
On peut faire une conjecture en calculant les premier termes :

U0 = 3 ; U1= 3,6 ; U2 = 4,32 ; U3 = 5,184...
La suite semble croissante. 
On le démontre.
Pour tout entier naturel n, Un = 3 × 1,2n.

On peut étudier le signe de Un+1 - Un.

...

Modéliser à l'aide d'une suite géométrique

Les suites géométriques permettent de modéliser des phénomènes discrets à croissance exponentielle.

Exemple :
Un coureur court 3000 mètres un week-end. Il décide ensuite d'augmenter de 10% la distance courue chaque semaine. Si on an la distance (en mètres) parcourue n semaines après la première course on a :
a0 = 3000 et an+1 = (1 +1/100)an = 1,1a.
Cette suite est donc géométrique de raison 1,1 et de premier terme 3000.
On en déduit que an = 3000 × 1,1n.
On peut alors calculer qu'au bout de 4 semaines, le coureur parcourt 3000 × 1,14 = 4392.3 mètres.

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