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Second degré - Cours et exercices de Maths, Première Générale

Votre enfant est en classe de première et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques? Pour revoir le chapitre "Second degré". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s'adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée afin de l'aider à progresser.

Les notions abordées :

Forme factorisée d'un polynôme du second degré

Fonction polynôme du second degré
Définition

Une fonction polynôme du second degré est une fonction ƒ définie sur R par ƒ(x) = ax2 + bx + c avec a, b et c des réels et a non nul.
Les réels a, b et c sont les coefficients de ce polynôme.

Exemple :
La fonction ƒ définie sur R par ƒ(x) = x2 - 9x est une fonction polynôme du second degré.
ƒ(x) = ax2 + bx + x avec a = 1 , b = - 9 et c = 0.

Forme factorisée
Définition

Soit une fonction du second degré définie sur R par ƒ(x) = ax2 + bx + c.
Les solutions de l'équation ƒ(x) = 0, si elles existent, sont appelés les racines de ƒ(x).

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Forme canonique d'un polynôme du second degré

Forme canonique

Propriété et définition
Pour tout polynôme du second degré ax2 + bx + c, il existe deux  réels α et β tels que : ax2 + bx + c = a(x − α)2 + β.

a(x − α)2 + β est la forme canonique de ax2 + bx + c.

Démonstration

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Équations du second degré

Reconnaître une équation du second degré

Définition
Une équation du second degré est une équation qui peut s'écrire sous la forme ax2 + bx + c = 0 avec a, b et c des réels et a non nul.

Exemples :

7x - 6 = 0 n'est pas une équation du second degré.
2x2 - 3x + 5 = 0 est une équation du second degré.

x2 + x + 7 = x- 3 est une équation du second degré.
En effet, elle est équivalente à l'équation x2 + 10 = 0 qui est sous la forme ax2 + bx + c = 0 avec a = 1, b = 0 et c = 10.

Résolution d'une équation de second degré

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Résoudre un problème

De très nombreux problèmes peuvent être résolus à l'aide d'équations du second degré.

Exemple en géométrie : 

Soit ABCD un carré de côté 3 cm. Sur les segments [AD], [DC], [CB] et [AB], on place les points E, F, G et H tels que AE = CF = CG = AH.
On se demande où placer les E, F, G et H afin que l'aire du polygone AEFCGH soit égale à 4 cm2.

On appelle x la longueur du segment [AE].
Cette longueur est un nombre strictement positif qui ne peut pas être supérieur au côté du carré.

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