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Fonctions polynômes du second degré : variations et signe - Cours et exercices de Maths, Première Générale

Votre enfant est en classe de première et vous souhaitez l'accompagner dans sa réussite en Mathématiques? Pour revoir le chapitre "Fonctions polynômes du second degré : variations et signe". Bordas soutien scolaire vous propose plusieurs séquences avec des cours et des exercices. Le degré de difficulté des exercices proposés s'adapte automatiquement en fonction du niveau de l'élève. Les erreurs de votre enfant sont analysées et nous permettent de lui proposer une correction adaptée afin de l'aider à progresser.

Les notions abordées :

Variations d'une fonction polynôme du second degré

Propriété
Soit ƒ une fonction définie sur R par ƒ(x) = ax2 + bx + c avec a, b et c des réels et a non nul.
  • Si a < 0, alors ƒ est croissante sur ] −∞ ; -(b/2a)] et décroissante sur [ -(b/2a) ; + ∞[ . ƒ admet un maximum M pour x = -(b/2a).
  • Si a > 0, alors ƒ est décroissante sur ] −∞ ; -(b/2a)] et croissante sur [ -(b/2a) ; + ∞[ . ƒ admet un minium m pour x = -(b/2a)
...

Sommet et axe de symétrie d'une parabole

Propriété

Soit ƒ une fonction polynôme du second degré définie sur R par ƒ(x) = ax2 + bx + c a, b et c sont des réels et a non nul.
La courbe  représentative de ƒ est une parabole.

On note P la parabole sui représente ƒ dans un repère orthogonal.
P a pour sommet le point de coordonnées ( -b/2a ; ƒ(-b/2a)).
P admet pour axe de symétrie la droite d'équation x = -b/2a.

Remarque : 

...

Signe d'un polynôme du second degré

Factorisation d'un polynôme du second degré
Propriété 

Soit ƒ(x) = ax+ bx + c (avec a non nul) et Δ son discriminant.
  • Si Δ >0, ƒ(x) = a(x - x1)(x - x2) avec x1 et x2 les racines de ƒ(x).
  • Si Δ = 0, ƒ(x) = a(x - x0)2 avec x0 l'unique racine ƒ(x).
  • Si Δ < 0, ƒ(x) ne peut pas être factorisé dans R.

Démonstration

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Inéquations du second degré

Ce cours est constitué d'exemples.

  • Résolution de l'inéquation x2 + 4x - 5 < 0 :
On commence par étudier le signe de x2 + 4x - 5.
Δ = 42 - 4 × 1 × (-5) = 36

...

Résoudre un problème

De nombreux problèmes peuvent être résolus en étudiant le signe ou les variations d'une fonction polynôme du second degré.

Exemple :
Un artisan fabrique des objets. Il ne peut pas produire plus de 70 par semaine. On suppose que tout objet fabriqué est vendu.
Le bénéfice réalisé par le production et la vente de x dizaines d'objets en milliers d'euros est modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle [0 ; 7] par B(x) = -0,1x2 + 0,6x - 0,3.

Question 1 : 
Quel est le bénéfice maximal que peut réaliser l'artisan ?

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